A - M AX»A ET MINIIU DES FONCTIONS

69. — Maxixna et minlma des fonotions d'une seule variable* — La représentation graphique des fonctions a montré (16-1*7) qu'elles étaient croissantes ou décroissantes, selon que le coêfficietit différentiel ou la dérivée était positive ou négative. Cette corrélation peut se déduire de la formule trouvée (4e8),

f(,r+h)-f{x) = hf'{x+^/i). (1)

L'expression ci-dessus (1) indique, en effet, que le premier membre changera de signe avec /t, et que la fonction sera croissante, toutes les fois que /*' (./•) conservera une valeur positive, dans une très petite variation de x à .r-f- A. Si au contraire, f'{x) est négative dans l'intervalle considéré, la fonction sera décroissante.

En attribuant toujours à h une valeur très petite, on peut avoir une fonction qui soit croissante depuis une certaine valeur de la variable x, comprise entre a — h et a, et qui soit décroissante depuis a jusqu'à a+// ; la valeur de la fonction pour x=a, c'est-àdire f{a) est un maximum.

Inversement f{a) sera un minimum, si la fonction croit depuis a jusqu'à a-^hj après avoir été décroissante depuis a — A jusqu'au. On appelle donc maximum ou minimum d'une fonction, une valeur plus grande ou plus petite que toutes celles qu'elle prendrait, en donnant à la variable des valeurs aussi voisines que l'on voudra, au-dessus ou au-dessous de celle qui lui a été attribuée.

Il résulte de ce qui précède, que la valeur de la dérivée / '(^) correspondaut à un maximum ou à un minimum, doit être égale à zéro puisqu'elle prend des signes contraires, lorsqu'on donne à la variable des valeurs très voisines, au-dessus et au-dessous de a. En d'autres termes, l'accroissement de la fonction ou la différence f{X"\-h) — f[x) devant être négative pour un maximum, et positive pour un minimum, et cela quel que soit le signe de A, il faut nécessairement que f {x) == 0.

Mais, si la première dérivée s'annule^ on aura (48)

et si f' {x) n'est pas nulle, comme A* est toujours positif quel que soit le signe de /^, il y aura maximum ou minimum^ selon que cette dérivée seconde sera négative ou positive. Lorsque au contraire f' {x) = Q, il vient (-48)

/(x + A)-/-(^) = ^g r{x + hh) ; (3)

de même que pour (1), il ne peut y avoir maximum ou minimum que si f'"{x) est nulle ; cette dérivée d'ordre impair changeant de signe avec A, dont la puissance de même ordre n'admet pas les deux signes. On a encore (48) pour f" {x) = 0,

ici comme pour f'^[x) dans (2), le signe de f^^ {x) est indépendant de A, et il y aura encore maximum ou minimum, selon que cette dérivée sera négative on positive. Sans pousser plus loin cette analyse, on peut donc formuler le principe et la règle suivants :

Pour qu'il y ait maxiinum ou minimum^ il faut que la première dérivée qui ne s'annule pas soit (tordre pair ; dans ce cas, il y aura maximum ou minimum, selon que cette dérivée sera négative ou positive.

— D'où il suit que pour trouver les maxima et les minima d'une fonction d'une variable, il î^xxi, égaler sa première dérivée à zéro.

tirer les racines de f équation aimi obtenue, et les substituer dans les dérivées successives de la fonction. Si la première dérivée qui ne s'annule pas par celle subslilution est d*ordre impair, il n'y a ni maximum ni minimum ; lorsqu'elle est d'ordre pair on a un minimum ou un maximum, selon qu'elle prend le signe plus ou le signe moins.