Remarque. — On rencontre quelquefois des fonctions
principalement dans la discussion des courbes, — dans lesquelles,
au lieu de prendre la valeur zéro, la dérivée f (x) devient égale
à rin/iniy en donnant à la variable une valeur particulière x=ay qui
répond à un maximum ou à un minimum ; c'est-à-dire que cette
dérivée est positive ou négative, dans l'intervalle compris entre
x = a — Aetx = «; elle devient au contraire négative ou positive
depuis a: = a jusqu'àa:=a + A.
— Soit par exemple la fonction
f{x)=ii + -x\'
Elle a pour dérivée
Celle dérivée prend la valeur infinie lorsqu'on fait j:=0; elle passe du négatif au positif et inversement, en même temps que x. Pour celte valeur particulière /(O) de la variable, on obtienl un minimum qui est l'unité.
Tl. — Btant donnée la somme constante c de deux facteurs variables v et x^ déterminer quand leur produit y sera
an maximum. — L'énoncé de la question donne lieu aux équations
î; + ar = C, et y = vx,
qui fournissent
y = cx — x^.
Faisant la dérivée du premier ordre égale à zéro, il viendra
y=^=f'ix) = c-2x = Q,
qui donne
La dérivée du second ordre est
f"[x) = -2, et comme elle est fiégalive, la valeur trouvée x = ' est bien un
maximum, La valeur de l'autre facteur sera aussi-. Par consé*
quenty le produit vx sera maximum lorsque les deux facteurs se-
ront égaux,
78. — On donne le volume d'an oylindre, et l'on demande de fixer ses dimensionSy de manière à ce que sa surflace soit un minimum.
1* — Supposons d'abord le cylindre fermé à sa partie supérieure. Soient v le volume donné, et s la surface du cylindre, dont x est le rayon et y la hauteur ; on aura
s =2tzj^ -h 2T:xt/ , (1)
et
La dernière équation donne
Remplaçant // dans la première, il vient
2y s = It.x^ h- — = 2 (ttx» + vx-*) , (3)
équation qui répond à la condition que le volume soit constant, et qu'il faut rendre minimum.
Pour cela, égalant la première dérivée à zéro, on aura
4x.r— .2ra:-*==0; d'où Ton tire
4^jc' = 2r,
soit ^=V/ — • W
La dérivée du deuûème ordre est
ou d*aprës (4), 4 w + 8 tt ;
itive, x = xyJL V 2?:
et comme elle est positive, x = m 7 — répond bien à un minimum.
Pour faire intervenir y, remplaçant dans (4), v par sa valeur déduite de Téquation (2), on aura
ou a:»=-^,
qui donne
s et
C'est-à-dire que 5 sera minimum^ lorsque la hauteur du cylindre sera égale au diamètre de la base^ et que Ton aura (1)
soit
2o. — Dans le cas où le cylindre serait ouvert à la partie supérieure, la surface totale deviendrait
ou, en substituant à y sa valeur,
s = t:x^-\ = iTj:' + 2t?ar-^
La dérivée de cette expression égalée à zéro donne
qui fournit
il en ressort
La dérivée du deuxième ordre est
