Mazima et minima des fonotlonB de deux variables

— Soit une fonction

de deux variables indépendantes x et y. On dit que cette fonction est maximum pour x=a et y=b, quand la valeur / (a, b) est plus grande que celles /(a + A, ô H- ft), qui la précèdent ou qui la suivent, dans un intervalle aussi petit que Ton voudra ; les quantités k et II étant des accroissements positifs ou négatifs. La fonction est minimum, lorsque pour les mêmes accroissements positifs ou négatifs, la fonction f(a-\-h, b + k) est plus grande que f{a,b).

APPLICATIONS ANALYTIOUES 87

Supposons que le rapport arbitraire des accroissements soit 6, demanière que k=thj et développons par la formule de Taylor (B8.4), la fonction obtenue /(ar + A, y + eA), dans laquelle on admet que x = aet y=^b; nous aurons, après avoir fait passer /(ar, y) dans le premier membre,

.. rr . f'idf df\ h' (d^f /(.+/,, 5,+.,,)- Ax,y) = f(£+.fjH-j3(^

dV . rf*/\

+''ià^'m+ <'>

Or, il faut pour qu'il y ait maximum ou minimum, que la différence qui constitue le premier membre, conserve son signe pour les accroissements positifs, aussi bien que pour les accroissements négatifs de h et de k (6S). Il est évident qu'il doit en être de même du second membre de Tégalité.

Mais on démontre en algèbre, que lorsqu'un polynôme q^\, ordonné par rapport aux puissances croissantes d'une variable h, le premier terme finit toujours par donner son signe à tout le développement, quand on suppose h suffisamment petit. Comme dans l'expression (2),lc coC'fficient h de ce premier terme est à la première puissance, et ne peut, eonséquemment, prendre deux signes, on est en droit de conclure qu'il ne peut y avoir maximum ou minimum, sans que ce premier terme s'annule ; il faut donc que

dx dy

D'ailleurs, cette condition doit être remplie quel que soit le rapport s ; on doit avoir pour chaque terme

^f ^ àf ^

j- = et T = ^\

dx dy

par suite, les valeurs particulières « et 6 de x et de y, doivent être comprises parmi les valeurs admises par ces deux équations.

Supposons qu'elles satisfassent à cette condition, et cherchons à déterminer dans quels cas on aura soit un maximum, soit un minimum. Il faut, avons-nous dit, pour avoir un maximum, que la différence indiquée par le premier membre de l'expression (2) soit

négative ; le premier terme du second membre étant nul, le second donnera son signe au développement, toujours dans Thypothëse où h est suffisamment petit , il faut donc que ce deuxième terme en h^ soit négatif'^ ce ^m exige que Ton ait

dx * dx dy dg*

Faisons pour abréger :

dV d^f ^ dH

dx^~ ' dydx~ ' dy'~ ' on doit avoir

A + 2 Be-+-C£«<0.

Diaprés les propriétés des trinômes du second degré, cette inégalité ne peut exister que lorsqu'on a

et comme c est arbitraire, on doit avoir aussi, pour que le trinôme conserve son signe,