B* — AC
On ferait voir de la même manière que pour un minimum ^ le trinôme devant être et demeurer positif quel que soit e, on doit avoir en même temps :
C>0, et B« — AC<0.
Lorsque le deuxième terme en A* du développement s'annule pour les valeurs particulières x=^a ci y=b^ le troisième contenant une puissance impaire de h, ne saurait donner lieu à un maximum ou à un minimum ; il faut qu'il s'annule également, et Ton sait aussi que dans ce cas ,il y aura maximum ou miîiimum, selon que le terme suivant en A* prendra une valeur négative ou positive.
Remarque. — S'il s'agissait d'une fonction de plus de deux variables indépendantes^ on montrerait par un raisonnement analogue, qu'il faut procéder de la même manière ; mais cette recherche ne présente aucun intérêt pour les applications ordinaires.
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES gO
T'4. -^ Tangentes et normales aux oourlMis planes. — La
manière d'envisager la tangente comme limite des positions successives d'une sécante, assujettie à passer par deux points dont Tun se rapproche indéfiniment de celui que Ton considère, conduisit à la découverte du calcul différentiel, et ses principes en furent d'abord appliqués à la théorie des courbes. Nous allons examiner quelques-unes de ces applications.
Soit donnée une courbe ayant pour équation
Pour trouver la tangente en un point qui a x et y pour coordonnées, il faut s'appuyer sur la définition donnée, en considérant un second point sur la courbe. Si x-^^x et y-h A y sont les coordonnées de ce dernier point, Téquation de la sécante qui les réunit sera, en désignant par X et Y les coordonnées courantes (Voir analyt.)^
V (y+Ay) — y ^^
ou
Ax ^ ^
Mais si la sécante, passant toujours par le point x, y, devient
tangente en ce point, c'est-à-dire, si elle tourne de manière à ce que
l'autre point se rapproche indéfiniment du premier, A a: et A y ten-
Ay dront à la fois vers zéro, et le rapport -r— tendra vers la dérivée
— =zy = f (x) de la fonction /" (x) ; par suite féquatiofi de la
tangente sera
ou
•75. — Remarques. — I. En faisant dans l'équation (2), X=a:+A,
h élant un infiniment petit, l'équation de la tangente deviendra
La valeur de Tordonnée f(x H- h) qui correspond à Tabscisse œ + h, est, d'après la formule de Taylor (55.5),
1.2 • ' ^ 1.2,3 on aura, en i'etranchant celte expression de la relation (1),
Y/(x+/,)=-r(x)i-;rwj|3.
par suite, la différence entre les ordonnées de la tangente et de la courbe^ qui correspondent à une abscisse infiniment rapprochée du point de contact, e$t une quantité infinifnent petite du second ordre, IL — Si deux courbes sont tangentes^ en menant leur tangento commune, les différences respectives de la tangente et de chaque courbe, prises dans les conditions qui précèdent, étant des infiniment petits du second ordre, la différence entre lès ordonnées des deux courbes^ — somme ou différence d'infiniment petits du second ordre, — sera elle-même un infiniment petit du second ordre (il).
76. — Tangente à la circonférence. — L'équation de la circonférence, rapportée à deux axes rectangulaires passant par son
centre, étant
si l'on applique à cette expression la règle des fonctions implicites (3Ô), on obtient pour dérivée
dy X
dx y
La tangente au point dont les coordonnées sont x et y, sera par conséquent (^-é.l)
équalion qui donne en eflcctuant les calculs et en réduisant,
Y7j + Xx = y^ + x^ = r\ une constante,
^"7. — Tangente à Tellipse. — Cette courbe ayant pour équation, lorsque ses axes coïncident avec les axes coordonnés,
la dérivée sera (3d)
dij Vx
dx a^y^
et la tangente aura pour équation ^7*4.1)
78. — On trouverait de la même manière, que la tangente à C hyperbole dont l'équation est
a* y* — 6* a;' == — «^ A* , a pour expression
— Celle de la parabole qui a pour équation
if=2px, quand les axes rectangulaires passent par le sommet, est
Dans le cas particulier où Ton considère le sommet de la courbe,
on a
dy p
ce qui montre que la tangente est perpendiculaire en ce point à l'axe des x.
79. — Véquation trouvée i^'^ A) j fournit un moyen facile de mener une tangente à une courbe plane quelconque.
Considérons la courbe AB (Fig. 4) ayant pour équation
n CALCUL DIFFÉRENTIEL
et soit M le point par lequel on veut mener (a tangente. La dérivée étant (ô7. Rem.)
y' = log'a.<
on prendra une longueur
en joignant le point D au pied P de l'ordonnée, et en menant par le point M une parallèle à cette ligne, on obtiendra la tangente Fig. 4. demandée ; car on aura
tang xMCP = tang OPD = -2 =y ^
80. — Si ton a à moier une tangente à une courbe ayant pour équation
'j=fM; (1)
par un point extérieur, il est évident que les coordonnées y, , x^ de ce point doivent satisfaire à l'équation de la tangente ; si le point de contact inconnu est x, y, on doit avoir
yi — y = r{x){x,—x). (2)
Cette dernière équation et celle de la courbe donneront par leur résolution, les coordonnées x et y,
— Enfin, on peut avoir à mener la tangente parallèlement à une droite donnée, et Ton sait que le parallélisme sera assuré, dès que ces droites auront le même coefficient angulaire ou d'inclinaison a.
Pour la courbe donnée (1) y=f[x), on doit avoir
et généralement, lorsque Téquation de la courbe est donnée sous la forme implicite
on doit avoir (38)
^f^Ml = a. (5)
Les équations (4) et (5) feront connaître les coordonnées x et y da point de tangence.
81. — (ht désigne sous le nom de sous-iangente, la portion de l'axe des x comprise entre le pied de l'ordonnée et le pied de la tangente.
— La normale est la perpendiculaire menée à la tangente d'une courbe par le point de contact.
— On nomme sous-normale, la partie de Taxe des x comprise entre le pied de l'ordonnée et le pied de la normale. Les équations de ces trois lignes se déduisent aisément «de celle delà tangente
i**. — Pour obtenir la sous-tangente, on fera dans Téquation de
la tangente, Y = ; alors X représentera Tabscisse du pied de la
tangente ; et, comme la sous-tangente sera égale à X — Xy il suffira
de déduire de la relation obtenue, cette valeur X — x. On aura
donc, d'abord
— y--=y{X—x), et ensuite
D'après cela, la sous-tangente de l'exponentielle déjà vue (70. 1)
sera
log' a. a^ log' a
Cette sous-tangente CP (Fig. 4) est comiante ; et attendu qu'elle est négative^ on en conclut que le pied de la tangente est situé à gauche du pied de l'ordonnée.
2*. — Les axes étant rectangulaires, — ce qui est le cas le plus fréquent —, pour trouver F équation de la normale il suffit ( Voir analyt.)
de renverser dans l'expression de la tangente (7-4. 1), le rapport du coefficient angulaire, et de changer son signe ; il viendra
3". — Enfin V équation de la sous-normale sera donnée par celle de la normale^ en faisant dans celle-ci Y = 0, et en tirant de Texpresûon ainsi obtenue la valeur X — x^ on aura
et
