X-x = yy

On aurait pour la parabole,

X — x = y?=/>, 2/ relation qui indique que dans cette courbe, la sotis-normale est

constante et égale à p ; comme elle est positive^ il en résulte que

le pied de la normale est à droite du pied de l'ordonnée.

— On pourrait avoir à mener la normale à une courbe par un

point extérieur, ou parallèlement à une droite donnée ; mais nous

ne nous arrêterons pas à résoudre ces questions, les procédés à

employer étant analogues à ceux qui ont servi pour les tangentes.

i. - CONCAVITÉ ET CONVEXITÉ DES UGNES PLANES.

f. — Etant donné un élément MM' de la courbe C (Fig. S), si l'on joint ses extrémités, on dit qu'il est concave du côté de sa corde et convexe du côté opposé. Les tangentes menées par les extrémités se trouvent, pai' conséquent, du côté convexe.

Gela posé, soit

l'équation d'une courbe rapportée à un système d'axes rectangulaires, et soient x et x-\-h les abscisses qui répondent aux ex-

Fig. 5,

Fig. G.

trémités M et M' de l'élément MM'.

Considérons en premier lieu, deux fonctions représentées par les courbes C et C, toutes deux convexes du côté de l'axe Ox (Fig. 5 et 6), ou plus généralement, du côté des y négatifs. On voit que dans la première le coefficient angulaire est positif, et que la fonction ^%\, croissante (69). Ce coefficient angulaire ou dérivée f'(x) va aussi en augmentant, à partir du point M ayant pour abscisse x, jusqu'au point M' dont l'abscisse est x+A ; il est donc lui-même croissant^

A|PPLICAT!ONS GÉOMÉTRIQUEIS 95

et en appliquant à la dérivée /' (x) le principe (69) ci-dessus rappelé pour la fonction f{x)^ on peut en conclure que sa dérivée fix) est positive.

Dans l'élément MM' de la courbe C (Fig. 6), le coefficient angulaire /' {x) est négatif, la fonction est décroissante, et Ton voit que /' {x) diminue en valeur absolue à partir du point M jusqu'au point M', il augmente donc, en réalité, puisqu'il est négatif; par suite, en vertu du même principe (69), f" {x) doit être positive.

— On montrerait de la même manière, que les éléments MM' des courbes C" et C"

(Fig. 7 et 8), tou- / 9

tes deux conca* ves du côté des y négatifs, — le premier provenant d'une fonction croissante , ^'»- '^' ^''^' ^• l'autre d'une fonction décroissante — , donnent lieu à des dérivées secondes f" (x) négatives.

Ces divers modes étant indépendants de la position de Taxe des Xf on est en droit de dire que toute courbe y = f (x) tourne sa convexité ou sa concavité vers les y négatifs, suivant que fa dérivée seconde f"(x) est positive ou négative.

83. — Points d'inflexion. — Lorsque dans une courbe le coefficient angulaire f'{x) de la tangente est croissant, jusqu'à un certain point dont l'abscisse est x=a, et qu'il devient décroissant à partir de ce point, le sens de courbure change ; il en est de même ai, après avoir été décroissant^ le coefficient angulaire devient croissant. La courbe devient concave si elle était convexe, ou inverse* ment elle devient convexe si elle était concave. Ce point est appelé point d'inflexion, et dans ce cas la tangente passe de part et d'autre de la courbe.

On a vu (69-70 Rem.) que pour cette valeur particulière de x, la dérivée f'{x) élait un jnarimum ou un minimum, et que f''(x) = ou 00.

a4. — AppUoation. —Soit donnée une équation y ==/(â:), dans laquelle nous supposerons que f{x) soit un polynôme entier et rationnel. Prenons par exemple Téquation

qui représente une courbe parabolique du troisième degré.

La construction d'une courbe donnée par son équation s'obtient, on le sait, en donnant à x différentes valeurs, en cherchant les valeurs correspondantes pour y, et en joignant les divers points déterminés par les coordonnées respectives ; mais cette construction est rendue plus facile et plus précise, en la faisant précéder de la disctission ; c'est-à-dire, en étudiant d'abord les variations de Tune des coordonnées, quand on fait varier Tautre depuis — oo jusqu'à + 00 .

Les dérivées successives de la fonction donnée (1), au nombre de trois, 5ont(l8-»ô-38) :

Poar trouver les maximum et minimum il faut s'appuyer sur la règle établie (60). Faisant la première dérivée égale à zéro et cherchant les valeurs des racines, on a

Remplaçant x par ces valeurs dans y'^, cette dérivée ne s'annule pas et donne

1*, y " = 1 , 392 , quantité positive,

2", y'' == — 10,392, — négative;

par suite, la première valeur correspond à un minimum

y == - 2,5981 ; la deuxième, à un maximum

En faisant dans Téqualion (1) j;=0, on trouve y = 2 qui est l'ordonnée du point D, où la courbe coupe Taxe des y. Si Ton fait en second lieu y = 0, on obtient

pour X les trois valeurs — I, - et 2,

qui indiquent les points Â^ B, C où la courbe coupe Taxe des x. D'ailleurs, y' est constamment positif pour toutes les valeurs de x comprises entre — oo et — 0,366 ; donc (69) y est croissant entre ces mêmes limites.

A partir de j: = — 0,366 jusqu'à la valeur a? = 1,366, y' devient négatif et la fonction y devient décrois^ santé, pour redevenir croissante h partir de cette dernière valeur 1,366, jusqu'à X = 00 , valeurs entre lesquelles y ' est positif.

On peut se rendre compte après cette analyse de la forme de la courbe, et la construction en est facile.

Elle a été établie (Fig. 9) en la rapportant à des axes rectangulaires, et en prenant pour les ordonnées une échelle moitié de celle des abscisses. Les autres figures (10,11,12) représentent les dérivées successives à la même échelle, sauf la dernière y"* = 12, dont l'échelle des ordonnées est le tiers de la précédente ; elle représente une parallèle à Taxe des abscisses, puisque le coefficient d'inclinaison est nul.

La valeur de la tangente au point Fig. i^.

A pour lequel j;ss=s— -1, sera donnée par la dérivée y'=6-H6 — 3=9.

Fig. H.

SD

De même, les tangentes aux points D, B, C, ont successivement pour valeurs — 3, — 4, 5 et +9, Aux deux points M et N, le coefficient d'inclinaison ou la dérivée étant nulle,\es tangentes sont parallèles k Taxe des x.

La deuxième dérivée y'' = i2x — 6 est négative, depuis les

valeurs de x comprises entre — oo et +- ; par conséquent (8S), la

courbe (l) tourne sa convexité vers les y positifs pour toutes les valeurs de x comprises entre ces limites, et la convexité se change

en concavité à partir de a:= - jusqu'à x=cc \ car, pour toutes ces

valeurs de x, la valeur de y" est constamment positive. Le point B où la courbe change de sens est un point d'inflexion (83), et la tangente en ce point passe de part et d'autre de la courbe. Cette courbe n'a pas d asymptote , puisque pour a:=oo on a

aussi - = 00 .

M résulte de ce qui précède, que ]& première dérivée (2) du deuxième degré représentée (Fig. 10), doit couper Taxe des x aux points M' et N', qui correspondent aux maximum et minimum de la fonction primitive. Elle a elle-même un minimum en B', qui correspond au point d'infleodon B dont Tabscissc est-, et qui a une

valeur y' = 6 X Ô^* — 6 X 0,5 — 3 = — 4,50 . La tangente en ce point est donc parallèle à Taxe des x. Les tangentes aux points M' et N' ont les valeurs trouvées —10,392 et +10,392; elles sont également inclinées à droite et à gauche sur Taxe des x. La dérivée y "'=12 étant constamment joostVtW, la courbe (Fig. 10) tourne sa concavité vers les y positifs ; elle ne peut avoir des points d'inflexion.

Celte courbe part donc de l'infini positif, pour se rapprocher de l'axe des x qu'elle coupe en M' ; elle arrive à son minimum en B' , se relève, et coupe une deuxième fois l'axe des x, en un point N' symétrique du premier, pour s'éloigner vers Pinfini positif.

La deuxième dérivée (Fig. 11) est une droite qui coupe l'axe des X en un point B'", correspondant au minimum B' de y' , et au point

APPLICATIONS GÉOMÉTIUQUES 99

d'inflexion B de la fonction y ; elle a un coefficient d'inclinaison égal à 12 unités.

Enfin, la dérivée du troisième ordre (Fig. 12), une comtaiite^ représente une droite LL' parallèle à Taxe des x, et située à une distance de 12 unités de cet axe.