COURBURE DES UGNES PLANES
. — La considération des tangentes donne une idée plus précise des courbes^ en ce qu'elle indique la direction suivant laquelle se trouvent les points voisins du point de contact, mais elle ne permet guère d'apprécier leur forme ; c'est pourquoi on fait intervenir la notion de courbure.
Pour se rendre mieux compte de la courbure des lignes planes, on la compare à celle des arcs de cercles. Supposons donné un arc de rayon r (Fig. 13), sur lequel nous prendrons une longueur déterminée MM' ; menons les tangentes MA, M'B. L'arc considéré sera d'autant plus courbe, que l'angle aigu ACB formé par les deux tangentes, ou son égal l'angle au centre MOM', sera plus grand. Il s'ensuit que l'on peut prendre Fangle au centre^ pour la mesure de la courbure des cercles ; et comme cet angle, pour deux arcs de même longueur, sera d'autant plus petit que le rayon sera plus grand, on voit que la courbure varie en ^ens inverse du rayon. Donc, en représentant par s l'arc considéré, par a l'angle au centre, ou lare dont le rayon est l'unité qui lui sert de mesure, r étant le rayon, la courbure de F arc
oc par unité de longueur sera -, et Ton aura
86. — Détermination du rayon de courbure. — Soit donnée la courbe AB (Fig. 14) dont l'équation est
iOO
y^fix),
et proposons-nous de déterminer les rayons de courbure de ses
arcs élémentaires très petits. Prenons pour cela, trois points très
rapprochés M, M', M'' ; comme ils ne sont pas en ligne droite, on peut par ces trois points faire passer un cercle, qui différera d'autant moins de l'arc de la courbe que les points auront été pris plus voisins ; si maintenant on suppose qu'ils se rapprochent de plus en plus, à la limite les arcs de la courbe et du cercle coïncideront^ et le centre correspondra à la rencontre des deux normales infiniment voisines.
Pour cette position limite, le cercle est appelé cercle de courbure^
son centre est le centre de courbure^ et son rayon le rayon de
courbure qu'il faut déterminer.
Représentons par p ce rayon, par ds l'arc MM' et par rfa l'angle
MCM', tous les deux infiniment petits, on aura pour la position
limite
Fig. 14.
ds p
d'où. p = 5jj
Cherchons, actuellement, les valeurs de ds et de doc. Et d'abord ds, l'arc, peut être considéré à la limite comme égal à sa corde. Par suite, si i: et y sont les coordonnées du point M, a:H- Aa: et y + Ay seront celles du point très voisin M', et la considération du triangle rectangle MIM' fournira
rf^= lim yj^a^ + AyS
ou
ds == yjdx^ + rfy* = dx ^i -+- y
Quant à fifa, on le trouvera en remarquant que la tangente de l'angle au centre MCM', ou de son égal l'angle NDN', sera donnée
a — d parla formule analytique ;-, dans laquelle a et cl expriment
les coefficients angulaires des droites qui forment cet angle ; il viendra
y' - {y' H- dy')
lang MCM' =
i+y'<y'+dy')'
Mais rinfiniment petit dy' étant négligeable à c6té de y\ et la tangente MCM' pouvant être remplacée à la limite par son arc, on obtiendra
de sorte que l'expression (2) du rayon sera
,=.,/ÎTF-.(-i^-)=-<-i^=.
dx ou
On doit remarquer que la courbe considérée étant convexe du côté des y positifs, la dérivée y" doit être négative (8S) ; ce qui donne pour le rayon de courbure une vbXqxïv positive. Celte valeur est encxiT^ positive j quand la courbe considérée est convexe du cAté des y négatifs ; on sait que dans ce cas y" est positif, et Ton serait arrivé directement à l'expression
car la considération des tangentes aurait donné pour cette expression, une valeur positive au numérateur.
87. — Application. — Cherchons comme exemple, le rayon de courbure de V ellipse qui a pour équation
ay + ÔV = fl«ô*, (1)
lorsque les coordonnées se confondent avec les axes. La dérivée du premier ordre est (77)
ahj celle du second ordre (d3-S4-38),
102 CALCUL DIFFÉUENTIEL
^ a^b^xy ' — a'ô-y 6* fxy ' — y>
ou, ea remplaçant y' par sa valeur (2), et à cause de la relation (1),
, *« /oy-MV\ A*
^ ~~a*\ ay / ^»*
Donc (86. S),
et comme
ahf
on aura, en efTecluaut,
«y Voly'/
^ / oryM-fl^AVNî ^ (ay+A*g«)î
Le rayon de courbure aux extrémités du grand et du petit axe, sera donné en faisant :
1*, y = et ar=a, ce qui fournit
2*, a:= et y = A, et Ton obtient
88. — DiiXérents ordres de contact. — La forme d'un élément de courbe peut être appréciée encore plus exactement, quand on la -compare à d'autres courbes d'espèce plus simple, contenant dans leurs équations générales, plus de paramètres arbitraires que lecer cle.
Considérons deux courbes C et C (Fig. 15) qui peuvent être sécantes, ayant un point commun en M. Il est évident que ces courbes seront d'autant plus voisines, que les cordes qu^elles inter-
APPLICATIONS GEOMETRIQUES
ccptent, menées parallèlement à une droite fixe, seront elles-mêmes
plus petites pour un même arc compté à partir du point M.La direction
des cordes est d'ailleurs indifférente ; car, si Ton mène mn et mn'
par un point m de Tune des courbes, le triangle mn?i' obtenu en joi-
, , mn sin mn'n ,. . ,
ffuantnn , donne = -: , rapport nni, attendu que les
mn sm mnn'
angles enn etn' ne peuvent tendre vers zéro, pourvu que les cordes ne soient pas dans la direction de la tangente au point M.
Supposons maintenant que les courbes soient tangentes en M, et que MT soit leur tangente commune ; leurs équations F (x) et / {x) seront égales pour la valeur particulière Xi de la variable, répondant à l'abscisse du point M. Si Ton donne à la variable un accroissement infiniment petit A, les deux fonctions auront pour différence la corde ^r, un infiniment petit du second ordre (76. Rem. II). On dit dans ce cas, que le contcu^t est du premier ordre. Lorsque la corde est du troisième ordre^ le contact est dit du deuxième ordre ; et en général il y a contact de Fordre n, quand la distance entre les deux courbes, que nous supposerons désormais toujours comptée parallèlement à l'axe des ^, est un infiniment petit de F ordre n+1. Si cette distance est du premier ordre, il y a seulement intersection .
Fig. iS.
// résulte des définitions ci-dessus, que deux éléments de courbes seront d'autant plus voisins, que le contact sera d un ordre plus élevé. Mais pour reconnaître Tordre de contact, il faut chercher Tordre infinitésimal de qr, ou de son égal F (Xi+A) — f{Xyr\-h), Or, la formule de Taylor donne (B5)
et
En retranchant membre à membre et en remarquant que f{xi) = F (xi), on aura
Il faut, comme nous venons de le voir, pour qu'il y ait contact du premier ordre, que qr soit du second, ou que le premier terme en h du second membre soit mil\ ce qui ne peut avoir lieu que lorsque F' [Xi) = f' (x^). Le contact serait du deuxième ordre, si Ton avait en outre F" (xj) = /" {x^) ; et en général, le contact serait de F ordre n, si toutes les dérivées consécutives jusqu'à celles du même ordre étaient égales.
90. — Courbe osoalatrlce. — Soit donnée une classe de courbes représentées par l'équation générale
et soit proposé de déterminer les paramètres, a, b, c, , de telle
sorte que cette courbe devienne aussi voisine que possible d'une autre courbe donnée
Ces deux courbes doivent avoir d'abord un point commun ; si Xiy i/i sont ses coordonnées, la première deviendra
?(^i,yi, a. A, c, )=0. (3)
Pour exprimer que le contact est de Tordre le plus élevé possible^ il faut prendre les dérivées successives (89) de y par rapport à a:, dans les deux équations, et les 6^a/ar jusqu'à celles de l'ordre n — 1, si les paramètres sont au nombre de n ; on aura de la sorte, entre ces paramètres, n équations de condition qui en détermineront les valeurs. La courbe obtenue sera de l'espèce indiquée par Péquation (1) ; elle est dite osculatrice de la proposée (2), et le contact de ces courbes sera de l'ordre n — 1.
91. — Supposons que a, p, y, , soient les dérivées successives de la fonction y=f{x) prises par rapport à x, en faisant x = Xi et y=yi. La dérivée première de la fonction (90. 3) prise dans les mêmes conditions, sera (38.3)
dx dy' dx
dy el en substituant à 7^ sa valeur a, on aura ]dL première équation de
dx
condition
dx dij
On obtiendra de la même manière la deuxième équation, en prenant la dérivée seconde qui est (-45 3)
dx* dxdy dx "dif \dx) dy dx^
. 1 . . du fduY . ^*y û
et qui devient, en remplaçant -r^ par *> ( t' ) par ^ et ~ par p,
dx- dxdy dy* dy
et ainsi de suite
La résolution de ces diverses équations donnerait les valeurs inconnues des paramètres.
9d. — OercUm osoulateur. — Soit à trouver le cercle osculateur en un point x, y d'une courbe
c'est-à-dire le cercle tangent à cette courbe, et ayant avec elle un contact du deuxième ordre. X et Y étant les coordonnées du centre et p le rayon, son équation générale sera
En différentiant deux fois il viendra (38)
et
U faut pour que le cercle soit osculateur à la courbe proposée au point Xy y, que leurs dérivées y et y'' soient respectivement égales. D'ailleurs, la relation (3) indique que le centre du cercle est sur la normale au point commun ; car elle montre que les coordonnées X
406 CALCUL DIFFERENTIEL
et Y satisfont à l'équation de la normale (81.2). De même,réquation (4) exprime que le centre du cercle est sur la normale à \% courbe proposée, au point infiniment rapproché x-i-dx,y + dff, cette équation se déduisant de la relation (3), quand on remplace dans celle-ci x par x-i-dx, y par y^dy et qu'on simplifie. L'expression (4) donne
En substituant cette valeur dans la relation (3), on a et Téquation (2) devient
(i+yT
d'où l'on déduit
valeur obtenue pour Iç rayon de courbure (86.4), qui montre ndentilé enlre ces deux cercles. Celte valeur exprimant une longueur absolue, doit être positive ; il faut par conséquent donner à l'expression (5) le signe + ou le signe — , suivant que y" sera posi* t if ou négatif ; c'est-à-dire, suivant que la courbe (1) tournera sa convexité vers les y négatifs, ou vers les y positifs (8S).
— La relation (5) montre que le rayon devient infini lorsque y ^ est nul, et qu'il est nul pour y'' = oo .
