DÉTELOPPÊES DES COURBES PLANES
i. — On appelle développée d'une courbe plane, le lieu de ses centres de courbure.
On a vu (86-98) que les centres de courbure d'une courbe plane, se trouvent k la rencontre des normales infiniment voisines ; il en résulte que ces points de rencontre constituent la développée ; et comme chaque normale est rencontrée par celle qui la précède et celle qui la suit en deux points, ces points étant d'ailleurs infini* ment rapprochés, on peut en conclure que chaque wrmale à la courbe proposée^ qu'on appelle développante y est tangente à sa développée.
Cette propriété peut être, du reste, démontrée comme suit :
Soit y = f(x) 0)
l'équation de la développante ; désignons par a et ^ les coordonnées du centre de courbure, qui n'est autre qu'un point de la développée, et par x, y celles du point correspondant de la courbe développante, on a (9d)
(^-ot)» + (y~p)' = p'; (2)
différentiant deux fois,
La valeur de x fixant celles des autres variables, en lui donnant un
accroissement h, qui corresponde à un point infiniment voisin du
point considéré, les autres coordonnées prendront respectivement
les valeurs a -H rfa, p + rfp ; et pour avoir la tmigente en ce dernier
d^ point, il faudra chercher la limite du rapport — . Prenons pour
Cela la dérivée de l'expression (3) par rapport à x, en observant que
iOO
les quantités y, cl et ^ sont des fonctions de cette variable ; on aura
et à cause de la relation (4), l'expression se réduit à
dcL dx
dx' dx
ou
dcL dx
Cette équation exprime que la tangente à la développée qui a
rfs
— comme coefficient angulaire, est perpendiculaire à la droite dont doL
dy le coefficient angulaire est -7^ , ou à la tangente au point pris sur
dx
la développante ; elle est donc normale en ce point à cette courbe (i). Par suite, toute tangente à la développée est normale à la développante, et réciproquement.
96. — Xia longueur de l'élément de la développée, est égale À raccrolssement infiniment petit correspondant du rayon de courbure. — Considérons sur la courbe CD (Fig. 17), deux points M et M' infiniment voisins ; les normales menées en ces points sont, d'après ce que nous venons de voir, tangentes en O et 0' à la développée ÂB. Menons par le point M la tangente MT à la développante, et par le point une parallèle OP à cette ligne.
Le rayon de courbure M'O' diffère de NO' d'un infiniment petit du second ordre (75) ; de même, NP diffère du premier rayon de courbure MO d'un infiniment petit du second ordre ; donc on peut considérer PO' comme la différence des deux rayons de courbure, en négligeant les infiniment petits du second ordre (il). Pareillement, PO' diffère de Tare 00', d'un infiniment petit du second ordre, que Ton peut négliger ; ce qui
Fig. 17.
iiO CALCUL DIFFÉRENTIEL
permet de considérer celte quantité comme laccroissement du rayon de courbure, et ce qui démontre le principe énoncé.
D*après cela, si Tare de la développée AB correspond à la partie de développante CD, la longueur de cet arc sera égale à la différence des rayons de courbure extrêmes. De sorte qu*en supposant un fil inextififfuible enroulé sur AB, une de ses extrémités étant fixée en B, l'autre extrémité supposée en C tracera, — en le faisant dérouler et le maintenant constamment tendu, — la développante CD à laquelle il est normal dans toutes ses positions.
