Ji — doc dx

En éliminant a et p,onobtiendrauneéquationdifférentielle(S57) de la forme

dy'

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ill

qui indique que la relation enlrc x et y, ^ (a?, y) = 0, renfermera une constante arbitraire ; ce qui doit être, puisque toute développée a tme infinité de développantes, la longueur du fil qui trace la développante étant quelconque.

98. — La développée d'une courbe pouvant être considérée comme fenveloppe des normales à cette courbe, son équation sera dowiée par des moyens analogues à ceux qui ont servi à déterminer celle do l'enveloppe (94). Soit

Téquation de la courbe donnée. L'équation de la normale à cette courbe sera (81.2)

Pour trouver 1 équation de la développée il faut, d'après ce qui précède, considérer dans l'expression (4) l'abscisse x du point de contact comme un paramètre variable, et éliminer ce paramètre entre t équation (4), et sa dérivée prise par rapport à x.

On doit remarquer que les équations qui servent à éliminer le paramètre, sont précisément celles qui ont servi à déterminer le centre de courbure (98), quand x eiy sont données.

— Il peut être plus commode dans certains cas, d'introduire partout y au lieu de remplacer y et y' en fonction de x ; puis d'éliminer y entre Féquation de la normale et sa dérivée prise par rapport à y, qui doit être alors regardée comme variable indépendante.

99. — Comme application nous chercherons l'équation de la développée à la parabole, L*équation de la parabole étant

y« = 2pz,

qui donne

celle de la normale sera (81.2°)

112 CALCUL DIFFERENTIEL

et en remplaçant x par sa valeur — ,

""-y^li^-ih'-

En différentiant par rapport à y, on trouve

L'équation cherchée sera donnée en eliminatit y entre les expressions (3) et (4). Celle-ci donne

et par suite Texpression (3) deviendra

2y'-+-2»-Y=0, ou,

En remplaçant y' par sa valeur dans l'expression (4), on aura enfin

donnant

». — POINTS SINGULIERS DES COURBES PLàNES.

On appelle points singuliers d'une courbe, des points qui présentent certaines particularités, et qui sont indépendants du choix des axes de coordonnées.

lOO. — Points d'inflexion. — On a vu (83-8'4) que les points d'inflexion résultaient du passage par un maximum ou par un minimum, du coefficient angulaire de la tangente /'(x), et que lorsqu'il en était ainsi, /" [x) affectait les valeurs zéro ou V infini.

Prenons comme exemple la courbe (Fig. 18), ayant pour équation

Les dérivées successives sont

sjx

Fig. 18.

En faisant j; = 0, l'autre coordonnée prendra la valeur y^^a^ et les dérivées deviendront

;y'=1, et y'=«.

Le point M déterminé par ces valeurs particulières des coordonnées est un point dinflexiofi. Pour x négatif, le coefficient angulaire y' est décroissant, tandis qu'il est croissant pour x positif; il faut donc, nécessairement, qu'il passe par un minimum pour x=0. D'ailleurs, pour cette valeur particulière de x, la dérivée seconde est infinie et le rayon de courbure est nul (9ô).

loi. «- Points multipl#«. — Les points multiples sont ceux oiïi passent plusieurs branches d'une courbe. Ils se rencontrent dans les courbes données par les équations, qui renferment des radicaux d'indice pair.

Les branches se croisent quand y affecte deux valeurs distinctes, qui se réduisent k une seule pour une valeur particulière de x, tandis que y' conserve toujours deux valeurs distinctes.

Comme exemple nous prendrons (Fig. 19) la courbe

fj='-y/x+b.

La dérivée est

Fig. 49.

2a)/x-{-b £n faisant x= 0, on a y = 0,

aslb y a*'

slb

La courbe représentée par Téquation proposée, admet deux tangentes au point multiple 0, situé à rinterseclion des axes coordonnés.

108. — Au lieu de se couper , les deux branches d'une courbe peuvent être tangentes; elles sont alors situées soit de part et d'autre de la tangente commune, soit d*un même c6té de celte tangente. Cette forme particulière donne lieu à un point multiple avec contact. Il est dit Ae première espèce dans le premier cas, et de deuxième espèce dans le second.

Ces différents cas se présentent lorsque y admettant deux valeurs distinctes, ainsi que y\ ces valeurs respectives se réduisent à une seule, tant pour la fonction que pour sa dérivée, dès que Ton donne à la variable une certaine valeur particulière. Si, en outre, pour cette valeur particulière, y" a des signes différents sur les deux branches de la courbe, on a affaire à tin point multiple avec contact de première espèce \ tandis qu'il est de deuxième espèce^

lorsque les deux valeurs distinctes de y" 'C ont le même signe.

— L'équation

donne (Fig. 20) un point multiple avec contact de première espèce, car on en déduit

Fig. 20.

8+243:4- ISj'

et pour x = , il vient

y=0, y'^0, et y"=±2.

Les deux valeurs de la dérivée de deuxième ordre sont distinctes

APPLICATIONS GÉOMÉTHIQUES^

et de signes difTérents ; celles do y' se réduisent à une seule, ainsi que celles de la fonction.

— On obtiendra un point multiple avec contact de deuxième espèce, avec la courbe (Fig. 21) ayant pour équation

dont les dérivées sont

4x + 5ic'

Hi+x)\

En faisant x = on a, en effet.

y" = 6rfc2,

valeurs qui vérifient Ténoncé.

103. — Points de rebroussement. — Les points de rebroussement sont des points multiples, auxquels les deux branches d'une courbe s'arrêtent brusquement, et où elles ont même tangente. Pour ces points, y devient imaginaire quand on fait varier x seulement dans un sens.

Le rebroussement est dî^joremier ycm*^, lorsque les deux branches de la courbe sont de côtés différents de la tangente commune ; il est du second genre, quand elles sont d'un même côté. Le caractère analytique qui distingue ces deux genres de rebroussement, est que dans le premier les deux valeurs de y" sont de signes contraires, tandis que dans le second elles sont de même signe.

{o — Considérons la courbe (Fig. 22) ayant pour équation

Elle donne

y = x±x\lx .

^\jx '

Fig. «.

Pourx=0 les deux valeurs do y s'annulent, et y' n'a qu'une seule valeur qui est 1 . Si, d'autre part, on supposer: négatif, y devient imaginaire. Donc, il y a deux branches de courbe qui s'arrêtent brusquement à l'origine, où elles ont une tangente commune. Par suite, on a bien un point de t^hrous&tment \ il est du premier genre j car les deux valeurs de y" sont de signes contraires.

2° — Prenons, en second lieuj Féquation

nous obtiendrons

Pour or = on a y=0 et

Fig. 23. ;y — w V.. y =

La courbe (Fig. 23) a encore un point de rebroussement à l'origine dos coordonnées, puisque les deux valeurs de y et de y* se réduisent à une seule en ce point, et que à des valeurs négatives de X, correspondent des valeurs imaginaires pour y et y'. On reconnaît aussi que If^ rebroussement est du second genre^ en remarquant que pour de très petites valeurs positives de x, les deux valeurs de y" sont de même signe,

1 1 8. — Points d'arrêt ou de rupture. ~ On appelle point

d^arrêt celui où s'arrête brusquement une branche unique de courbe (Fig. 24). Pour ces points, qui sont donnés souvent par les équations dans lesquelles entre log x, la valeur de y devient imaginaire.

Soit par exemple

\ogx

En faisant a: = on a y = ; et si Ton donne à x des valeurs positives^ y est toujours réel et n'a qu une seule valeur. Au contraire, pour des

valeurs négatives de oc^ y devient imaginaire ; on a donc un point (T arrêta à Torigine.

Pour toutes les valeurs de x comprises entre et 1, les valeurs de y sont négatives ; elles passent de Tinfini négatif à Tinfini positif au point B où x=i, pour se maintenir ensuite constamment positives. Ce point B est un point de rupture. Dans Texemple choisi, la droite A A' est une asymptote aux deux branches de la courbe.

105, -- Points anguleui: ou «alUaat«« -^ Les points où s'arrêtent deux branches de courbe qui n'ont pas la même tangente, sont appelés anguletix. Ils diffèrent des points multiples, en C€ que les deux branches ne se prolongent pas au delà de ce point.

Prenons la courbe (Fig. 25)

qui donne

Fig, S3.

En faisant a: = 0, on a y=0.

Pour trouver la tangente à l'origine,

il faut prendre la limite de - . Or, si

Ton fait tendre x vers zéro, en lui donnant dos valeurs positives de plus en plus petites, on arrivera à lira -=0. Au contraire, si supposant X négatif, on fait encore tendre cette variable vers zéro^ on

aura lim - = i. Il y a donc à l'origine deux tangentes distinctes^

qui caractérisent le point saillant.

Remarque. — Les points d'arrêt et les points anguleux ne se rencontrent que dans les courbes transcendantes.

106. — Points conjugués. — H y a encore un autre genre de points singuliers, provenant ordinairement d'une branche de courbe fermée qui se réduit à un point, lorsqu'on donne au paramètre qui entre dans l'équation une certaine valeur particulière ; on les appelle points conjugués. II faut, pour que cette circonstance se

iSK) CALCUL DIFFÉRENTIEL

corde l tendra vers son arc^ et À a:, A^, A^^ tendront reapectivement vers dXy dy^ dz t de sorte qu'il la limite on aura, en représentant Tare par ds,

: = ^da^-hdy^-hdz*; (2)

telle est l'expression de Télément de la courbe. En prenant z pour variable indépendante, elle serait

*=*\/(iHi^ ">

iiO. -- Taiigttiit«. -«^ Considérons les mêmes points M et M' déterminés par les mêmes coordonnées, et désignons par X, Y, Z les coordonnées courantes. La droite qui joint ces deux points aura pour équations (Voir analyt.)

^x Ay

Supposons que le point M' se rapproche de plus en plus du point

/ix Ay

M ; la sécante tendra vers la tanffenle, pendant que -7^ et «r* ten*

A^; As

dx dv dront vers les dérivées -r- et — , et Ton aura à la limite les expres-

dz dz *

sions de la tangente ; c'est-à-dire