X-x = ^(Z-z) et Y-y=^(Z

Ces équations peuvent être mises sous la forme symétrique suivante :

dx dy ^ dz

— Si Fofi appelle m et M les points de la courbe et de la tangente, qui correspondent à Tordonnée z-^-h infiniment rapprochée de z, la distance mM qui joint ces deux points est un infiniment petit du second ordre. En efTet, ces deux points correspondant à la coordonnée z-\-h, désignons par Xi, y, les deux autres coordonnées du point m, et par Xj, Yj celles du point M. D'après ce que Ton a vu (75),

les difTérences X|— ic, et Y,— y, seront des infiniment petits du se» eond ordre ; si k et V sont des coefficients finis, h étant Tinfiniment petit principal, ces différences seront de la forme kh^ et k'h^ ; de sorte que la longueur considérée qui a pour expression (109)

nM = v^(X, ~ x,y + (Y, - y, y + , pourra s*écrire, en la représentant par i ,

un infiniment petit du second ordre.

lit. «^ Lorsqu'une droite a pour équations

x = az-+-p et y = bZ'\--q 9

on sait que les cosinus des angles qu'elle fait avec les axes, ont les valeurs respectives ci-dessous :

fmmmmmmam wm

En appliquant ces formules à la tangente {±tO. 2)^ et en désignant par a» p, y les angles qu'elle fait avec chacun des axes coor donnés, il viendra

dx

dz dx

cos a =

^ifhi^h

ou^ à cause delà relation (109.2},

dx

cos a == — .

ds •

On trouverait de même

dy dz

cosp = -- et cosY = T' ds ds

118. — Plan normal. — Les perpendiculaires menées par le point de contact à la tangente en ce point, sont des normales. Le

lieu de toutes ces normales est évidemment un plan ; il est Ait plan normal. Pour trouver son équation, il faut remarquer que puisqu'il doit passer par le point de contact x, y y z, son équation sera de la forme {Voir analyt.)

Ce plan étant aussi perpendiculaire à la tangente exprimée par les équations (110.2), on doit avoir les équations de condition

A = C— et B = C-rdz dz

Les valeurs de A et de B substituées dans la relation (1), donnent

En supprimant le facteur commun C et en faisant disparaître le dénominateur, on obtient pour C équation cherchée du plan normal,

(^ — x)dx-\rÇi — y)dy-^(Z — z)dz = {S,

113. — Plans tangents. — On appelle plan tangent à une courbe, tout plan mené suivant la tangente à cette courbe. L'équation de ce plan doit donc satisfaire aux équations de la tangente (110.2); par suite, en désignant par )^ une indéterminée, elle sera de la forme

[{\ — x)dz — Çl — z)dx] + \[{Y — y)dz — [Z—z)dy]=-{S.

Cette expression semblerait indiquer que le plan tangent, qui contient le point dont les coordonnées sont x^ y et z, doit passer aussi par le point x-\-dx, y-+-dy, z-\-dz \ mais cela tient à ce qu'on néglige les inKniment petits du second ordre, car ce dernier point ne peut être situé sur le plan.

1 14. — Plan osculateur. — Pour définir ce plan, concevons sur la courbe trois points consécutifs M, M' et M" ; ces points n'étant pas en général en ligne droite, déterminent un plan. Or, si les points M' et M'' se rapprochent indéfiniment du point M, le plan ne cessant pas de les contenir, prendra à /a limite une position pour laquelle il est dit plan osculateur au point M,

APPLICATIONS («KOMKTUIQUES 123

La condition de faire passer le plan par le point M qui a pour coordonnées x, y, z^ donnera une équation de la forme (118.I)

Le second point M' devant se trouver sur le plan, il faut que ses

coordonnées x-\-dXy y-^-dy^ z-\'dz satisfassent à son équation,

et Ton doit avoir

Adir + Brfy+Crf5=:0. (2)

De même, les coordonnées x+dx+d^x^ y+^y+^y» z-\-dz-\^*z du point M"^^ placeront ce point sur le plan, si Ton a la relation

Ad'x + Bcf'y + Cd'z = , (3)

obtenue en tenant compte de la précédente.

En tirant les valeurs de A et de B des deux relations (2) et (3), il

viendra

dfj d*z — dz d^y

dxd^y — dyd^x ' dz <Px — dx d^z

dx dry — dyd^x'

en les substituant dans l'expression (1) du plan, on trouvera pour réquation du plan osculateur

(X — x) {dy d'z — dz d'y) + ( Y — yj {dz d'x — dx d'z)

+ (Z — 5) [dxd'y — dyd'x) = . (4)

Si Ton prend 5 pour variable indépendante, et que Ton divise tous les termes par ds^ = ds^ds, les dérivées premières et secondes de X, y, z par rapport à s étant respectivement .x', x"; y', y*" et

z\ z", on aura

équation ne renfermant plus d'infiniment petits.

Les équations symétriques de la tangente (110.3), montrent que Ton peut remplacer X — x, Y — y, Z — z par les quantités proportionneiles dx, dy, dz ; en faisant cette substitution dans la relation (4), on trouve après réduction tidentité 0=0, qui indique que le pian osculateur contient la tangeiite ; il est donc compris parmi les plans tangents.

— En prenant z pour variable indépendante, Téquation (4) du plan osculateur sera, en remarquant que dz devient une constante, que é/'2 =0, et en divisant tous les termes par dz^,