Cette nouvelle forme de F équation du plan osculateur
en M, se prête à montrer qu'il est parallèle à la twigente menée par
un pomt ta! infiniment voisin f ayant o^H-rfjJ, y+rfy, z+rfz pour
coordonnées. Remarquons, pour cela, que la tangente en M ayant
dx du pour coefficients angulaires t ei — , on obtiendra ceux de la ^ dz dz
tangente en M', en y changeant x en x-\-dxy ou dx en rfa-f-dit* ;
de même, il faudra changer rfy en di/'+'d^t/; de sorte que ces
coefficients pourront s'écrire,
dx d^x , dy d^y ,
1 dz et --r^A — -dz.
az az dz az
On sait, d*ailleurs, qu'une droite est parallèle à un plan dont l'équation est
Ax + By4-Gzr4-D = 0,
lorsque ses coefficients angulaires a et 6 satisfont à la condition
Aa4-Bé-f-C=:0.
Pour que la tangente au point M' soit parallèle au plan exprimé par Téquation (6), il faut donc avoir
d^y Idx d*x \ d^x/dy ^*y i \ (dxd^y dyd*x\ ~d?\Jz'^d? ^)'^d?\Jz'^d? )'^\d^d?~d^d?)^ '
condition satisfaite^ puisque après avoir effectué les réductions, le premier membre devient égal à zéro.
116. *— On peut démontrer que la plus courte distance des tan^ yentes menées par les poifiis M et M' de la courbe^ ou, ce qui revient au même, la distance du plan osculateur en M à la tangente en W — qui est comme on vient de le voir parallèle à ce plan — est tin infiniment petit du troisième ordre.
APPLICATIONS GEOMETRIQUES 115
Pour simplifier cette démonstration, nous prendrons le plan osculateur pour plan des xz, et nous choisirons la tangente en M pour axe des z, en plaçant Torigine au point M. Dès lors, nous aurons :
!•, en vertu de la dernière condition^
2*, à cause de Faxe des z coîncidani avec la tangenie^
ce qui réduit Téquation (11<4.6) du plan osculateur à
3*, le plan osculateur devenant le plan des xz^ il faut que son équation se réduise à
ce qui exige que
Gela posé, supposons que
soit l'équatioa de la projection de la courbe sur le plan des yz, nous obtiendrons, par la série de Maclaitrin (67.1),
Or, la courbe passant par F origine ^ 9 (0) = ,
comme elle est tangente k Taxe des z^ (f' (0) == ,
et à cause de la relation (3), ^" (0) = .
Il en résulte que l'expression (4) deviendra
Mais les points M et M' élant infiniment rapprochés, z doit être un infiniment petit dix premier ordre ; par suite, Tordonnée y qui mesure la plus courte distance du plan osculaieur à la tangente en M', est un infiniment petit du troisième ordre. Donc, en négligeant les infiniment petits de ce dernier ordre, le plan osculateiir peut être considéré comme conte7iant les tangentes en M et M'.
117. — "NoTTOBle principale. — L'intersection du plan normal avec le plan osculateur, détermine une droite perpendiculaire à la tangente ; on l'appelle normale principale. On peut trouver son équation, connaissant celles de ces deux plans ; mais nous adopterons la méthode suivante :
Considérons sur la courbe donnée (Fig. 26), les deux tangentes MA et M'A' menées par les points M et M' infiniment rapprochés. D'après ce que l'on vient de voir, on peut admettre, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre, que M'A' est située sur le plan osculateur en M. Supposons que ce plan coïncide avec le plan de la figure, et soit C le centre de courbure en M de l'élément MM' ; CM sera la normale principale. Joignons aussi CM' et par l'origine O des coordonnées menons les droites Oa et Oa' , d'une longueur égale à l'unité, respectivement parallèles aux deux tangentes ; joignons enfin aa. Le triangle aOa ainsi obtenu, est semblable au triangle MCM', qui peut être considéré à la limite comme rectiligne, car ils sont tous les deux isocèles, et l'angle en est égal à l'angle MCM' ou à l'angle de contingence, comme ayant leurs côtés respectivement perpendiculaires. Ces angles peuvent être pris, du reste, aussi petits que l'on voudra. Il en résulte que les troisièmes côtés aa' et MM' sont perpendiculaires ; par conséquent aa' sera aussi voisin qu'on le voudra dêtre parallèle à MC, et la question revient à trouver aa'.
Pour obtenir cette valeur que nous représenterons par rfA, supposons que les coordonnées du point a soient /, u, t; ; celles du point a' seront t-i-dt, w+rf?/, v-^dvy et leur distance sera (1O0.2)
dk = yjde + die + dv\ {{)
En désignant parp, q^ r les angles que fait la direction de cette ligue avec les axes, on aura (m)
dt du dv
cosp=-, cosy = -, cosr=-. (2)
Désignons aussi par oc, (i, y, les angles formés par la tan3'entc MA ou sa parallèle Oa, avec les axes, il viendra
/ = Oacosa, ou, àcause de Oa = l, / = cos3c;
de même,
M = cos P , et i; = cos y ;
comme on a (il l]
dx „ dt/ dz
COSa= — , COSp = -p, C0SY=-7,
ds ds ds
on en déduit
dx dy dz
ds ds ds
ou
dt = d—, du = d— y dv==d-^; ds as ds
et en prenant s pour variable indépendante,
dt:=^-r\dsj rfw = "7^ as , rft; = -r- ds ; ds* ds* ds*
de sorte que l'expression (1) donnant la lo7igueur dk pourra s'écrire,
Les relations (2) donneront de leur côté, en faisant les substitutions voulues,
cos q = (4^«)
cos r = — . . (4*®')
/ fd'xV (d^yV (dzV
La ligne dk se trouve ainsi déterminée en longueur et en direction.
118. — Rayon de courbure. — D'après ce que Ton vient de voir, l'arc dk étant la mesure de Tangle de contingence dont le rayon est égal à Tunité, le rayon de courbure CM du cercle osculateur en M, que nous désignerons par p, sera donné par la relation (86.2)
dk \ ,, ^ ds
-=.-, doù, p=-; (1)
par suite, on aura en vertu de la relation (l 17.3),
/ (d^xV /d't/Y /d*z\* '
Si, dans les trois dernières formules du numéro précédent, qui donnent les valeurs des cosinus des angles formés par la normale principale avec les axes, on introduit p à la place de sa valeur (2), on pourra écrire ces formules plus simplement comme suit :
cos;, = p^, cosy = p^, cosr = p^. (3)
1 19. — Seconde courbtg^e. — On appelle angle de torsion on de
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES JS9
seconde courbure^ Tangle dièdre infiniment petit, que font entre eux deux plans osculateurs consécutifs. En assimilant la seconde courbure à la courbure du cercle, on convient de nommer rayon de seconde courbure^ le rayon du cercle ayant une courbure équivalente à la torsion de la courbe considérée.
Désignons par S Tangle de torsion, et par f i le rayon do seconde courbure, nous aurons analogiquement (118.1)
rfe i ,, , ds
=-, dou, pi=3i.
ds pi rfe
Pour trouver le rayon de torsion ou de seconde courbure, on pourrait suivre la méthode employée aux numéros précédents ; ou bien déterminer d'abord le second plan osculateur, en changeant dans la formule du premier, x, y, z en dx, dy, dz ; puis, chercher Tangle de torsion d^. L*angle plan de cet angle dièdre correspondra à Tare ds : désignons-le par dr, la torsion au point considéré sera,
par unité de longueur de la courbe, —, et le rayon cherché de
ds
seconde courbure sera — .
AT
