SURFACES COURBES

IdO. — Plan tang«nt. — Une surface rapportée à des coordonnées rectangulaires, e6t représentée par une équation de la forme

Si Ton fait passer sur cette surface, par un de ses points M, une courbe qui y soit entièrement contenue, elle sera en général à double courbure^ et la tangente menée par ce point dont les coordonnées sont X, y, Zy aura pour équations (lia.3)

dx du dz

dans lesquelles les numérateurs èeront donnés en différentiant l'équation de la surface (1), ce qui donne (38)

^dx+^dy + ^dz = Q, (3)

dx dy '' dz ^ '

Comme d'après la relation (2), les rfx, dy el dz peuvent être remplacés par les quantités X — jr, Y — y, Z — z qui leur sont proportionnelles, il sera préférable de faire cette substitution dans la relation (3) qui deviendra de cette manière,

Cette équation s'applique à toutes les tangentes au point M, que Ton peut mener aux courbes passant par ce point, et situées sur la surface donnée ; elle exprime donc le lieu de toutes ces tajigentes. D'ailleurs, elle représente un plan puisqu'elle est du premier degré en X, Y, Z. On peut en conclure que toutes les tangentes menées par un poi?it, commim aux différentes courbes que ton peut tracer par ce point sur une surface donnée, appartiennent à un même plan, appelé pour cette raison plan tangent.

L'équation du plan tangent s'obtient aisément, au moyen de la formule (4), quand on connaît l'équation de la surface proposée.

• — La géométrie analytique donne, pour les cosinus des angles que fait le plan tangent, avec chacun des trois plans coordonnés zy, xZf xy, les valeurs suivantes :

df

dx

dxl \dxil \dz'

dy

EL dy

dx) \dyl \dzl

dz

181. -- N'ormale. — La perpendiculaire menée au plan langent par le point de contact, est appelée normale. On trouve facilement ses équations^ sachant que lorsqu*un plan est représenté par Téquation

Ax + By + C^ + D = , et une droite par

a: = «3? + m et y = bz-^n^

les conditions nécessaires pour que la droite soii perpendiadaire au plan, sont

« = - et A = -.

D'après cela, la normale qui passe par un point dont les coordonnées sont Xy y, z, devant avoir des équations de la forme

et le plan tangent étant représenté par Téqualion (ldO.4), on aura

dx , du ,.

a =—77, et *=-^, (2)

af df

dz dz

ce qui donne pour les équations de la normale

dT du

J^-x = — {Z-z), Y-y^-Jj{Z-z). (3)

dz dz

Ces équations peuvent s'écrire sous la, forme symétrique

df\ ^ (df\ ^ /df\ ' (4)

ldj\ idj\ idfX \dx} \dyj \dz)

— Les angles formés par la normale avec les axes coordonnés, auront pour cosinus les valeurs respectives données (lSO.5).

Remarque. — Si Téqualion de la surface était donnée sous la forme

qui revient à

on en déduirait — 1 pour la dérivée du premier membre par rapport h z ; les autres dérivées partielles par rapport à x et par rapport à y, étant représentées par p et par g {^3. Rom* I), les équations (3) de la normale deviendraient

et les cosinus des angles que fait celte ligne avec les axes, seraient

v(p» + y«4-l' yjp^^q^^i' ^^«4-^1 + 1

idd, — Plan normal, — On appelle ainsi tout plan mené suivant la normale à une surface donnée. En désignant par >. une indéterminée, son équation générale sera de la forme

[pC.,|-,Z-„|]+.[,Y-„£-,Z-,fJ=...

Cette expression est bien l'équation d'un plan] elle satisfait aussi aux équations de la normale, car les relations entre crochets se réduisent à zéro, quand on remplace (X — jt), (Y — y) par leurs valeurs en (Z — z) données par la relation (101.4), ou quand on substitue à ces trois quantités, les valeurs

df df df dx^dy'dz

qui leur sont proportionnelles.