SDRFACES ENVELOPPES

1S3. — De m^me que les courbes, les surfaces sont dites d'une même famille, lorsque leurs équations ne diffèrent que par la valeur (Ttai paramètre. Soit

réqaation d'une famille de surfaces. Si Ton change aena + cfa on obtiendra une seconde équation,

f{x,y,z,a-+'da) = 0, (2)

représentant une seconde surface de la même famille, infiniment voisine de la première, et dont rintersectjion avec celle-ci prend le nom de caractéristique. Le lieu des caractéristiques, ainsi obtenues par les intersections successives des courbes de la même famille, est une surface qu'on appelle enveloppe.

— On trouvera F équation de Venveloppe par des moyens analogues à ceux employés pour les courbes. Considérons Téquation

qui appartient à la même famille ; Tintersection des surfaces (1) et (3) résultera de la combinaison de ces deux expressions. En retran** chant la première de la seconde et en divisant par Aa, on aura

f[x, y, g, a + Ag) ^f{x,y, z,a) ^ ^ ^^^

Au

et en faisant tendre Aa vers zéro, l'expression (4) tendra vers

fa{x,y,z,a) = 0, (5)

tandis que l'intersection deviendra la caractéristique. Le lieu cherché des caractéristiques sera donné par rélimination de a entre les relations (1) et (5).

Donc, pour obtenir r enveloppe d*une famille de surfaces^ donnée par S071 équation^ il faut éliminer le paramètre entre cette équation et sa dérivée^ prise par rapport à ce paramètre.

19^. — On démontre par l'analyse, que f enveloppée et f enveloppe ont le même plan tangent, en chaque point cTune caractéristique. Il faut pour cela, établir ridentité entre l'équation du plan tangent, en un point de la caractéristique considéré sur la surface, etTéquation du plan tangent au même poinl, mais considéré sur l'enveloppe. Nous montrerons cette propriété par les considérations géométriques suivantes :

Supposons que trois surfaces consécutives S, S', S'' de la même

famille, forment par leurs intersections successives, les deu!^ pf caractéristiques infiniment voisines AB et

A'B' (Fig. 27).

Si, par le pointMsitué sur la première caractéristique, on mène MT tangente à AB, cette ^ droite, tangente à une courbe appartenant à la fois à la surface S' et à Tenveloppe, sera ^>»- 27. tangente à ces deux surfaces. D'autre part, en

joignant le point M à un point M' infiniment voisin situé sur la seconde caractéristique, la droite MM' étaut la corde d'un arc infiniment petit, peut être considérée comme iafigente en M à la surface S' et à Tenveloppe. Donc, le plan déterminé par les droites MT et MM', est tangent en M à la surface S' et à Tenveloppe. Il en est de même pour chaque point de la caractéristique : ce qui démontre la propriété énoncée.