COURBURE DES SURFACES
126. — Pour se rendre compte autant qu'il est possible de la courbure d'une surface en un de ses points, on considère celle des différentes lignes que Ton peut tracer par ce point, sur la surface. Or, si Ton suppose menée une courbe à double courbure, par un point M d'une surface, et si l'on fait passer une section plane par les trois points consécutifs M, M', M'' de cette courbe, le cercle osculateur et par suite le rayon de courbure du point M, seront
«. communs à la courbe à double courbure et à
•>^5 la courbe plane de la section. Il suffit donc ^3 dans la courbure des surfaces de considérer les lignes pla?ies que l'on peut y tracer.
Cela posé, menons par le point M d'une surface (Fig. 28) la tangente MT et la normale MG ; le plan de ces droites sera le plan normal (128), et son intersection avec la surface déterminera une courbe AB, dite section normale. Supposons qu'un autre plan mené suivant la tangente donne la section oblique
ab^ le centre de courbure de cette section au point M, sera situé sur la normale à cette courbe ; soit Me = p son rayon de courbure, celui de la «ection normale étant MC= Pi.
L'angle CMc des deux normales que nous désignerons par V, sera donné par la formule ( Voir analyt,)
cos V =: cos a C08 a ' + cos b cos b' + cos c cos c\
dans laquelle a, b, c sont les angles respectifs formés par une droite avec les axes coordonnés, et a\ b\ c\ ceux formés avec les mêmes axes par la seconde droite. Mais les cosinus des angles formés par la normale MG à la surface avec les axes, ont les valeurs respectives trouvées (ldl.5), tandis que la normale principale à la courbe ab, fait avec les mêmes axes, des angles dont les cosinus ont été aussi déterminés (il8.3). On aura donc pour l'expression de Vangle des deux nonnales :
d^x d^y d^z cos V == — ,
.. ^d?'^^'dF~'d^ ,,,
cos V = p - — . [i)
slp^ + q^ + i
Cette formule peut être transformée. Pour cela, remarquons que lequation de la surface sur laquelle est tracée la courbe ab étant
^1^ dérivée de deuxième ordre s'obtiendra par la formule (43.4), à la condition de remplacer « par s, la variable indépendante v par lare s de la courbe, et le coefficient différentiel s par 5, ; on aura
'^ {dxV ^ dx dy /rfy\' d^x d^y
qui donne
d*x àhi â}z r (dx\^ dx du /d'/Vl
en substituant dans la relation (1) on trouve
cosV=gp,, M — . (2)
186. — Si maintenant on suppose que la section oblique varie de position^ sans cesser de passer par les points M et M' et par la tangente MT , Tangle Y seul variera avec o ; car, x, y restant les
^^ , dx dij . . ,
mêmes, les co(5racients — , — ne peuvent changer, puisque les accroissements dx^ di/j ds ne changent pas, et p, y, r, s^, t qui dépendent de X, y, conserveront aussi les mêmes valeurs. Donc, en représentant par K la quantité qui a p pour coefficient, on pourra écrire la formule générale
cosV = pK.
Pour fe cas particulier oh V = 0, c'est-à-dire, quand la section oblique se confond avec la section normale, on a
et en divisant membre à membre ces deux égalités, il vient
p cosV=-, d'où, p = pjCosV; Pi .
ce qui démontre la proposition connue sous le nom de théorème de Meunier, d'après laquelle le rayon de courbure de la section oblique, est la projection du rayon de dourbure de la section normale^ sur le plan de la section oblique.
Il en résulte que si, du point C comme centre, on décrit une sphère de rayon CM, elle sera coupée par le plan TMc suivant un petit cercle ayant c pour centre ; par conséquent, les cercles suivant lesquels les plans menés par une même tangente coupent cette sphère, sont les cercles oscillateurs dessectiojis correspondantes,
1S7. — Indicatrice. — L'intersection d'une surface et d'un plan mené parallèlement à un plan tangent, et à une distance infi-
niment petite de ce plan, est appelée indicatrice de la surface au point de tangence.
Pour trouver Tiadicatrice d'une surface courbe, nous prendrons pour simplifier, le plan tangent au point considéré pour plan des X y, et la normale pour axe des z. Soit donc
Téquation de la surface. La fonction f(Xy y) développée suivant la formule de Maclaurin (59), donne
/y/o'^J 2 LV/j;*/o \Ixdy
dy
Si Ton représente par h une quantité infiniment petite, en faisant z = h on aura l'équation d'un plan parallèle au plan tangent, dont il sera infiniment rapproché, et son intersection avec la surface sera rindtcatrice cherchée. D'ailleurs, cette indicatrice se projette en vraie grandeur sur le plan des xy^ puisqu*iU sont parallèles. Son équation sera donc donnée en remplaçant z par h dans la relation (I).
Il convient de remarquer que Ton peut avant, simplifier cette relation : car, la surface passant par Forigine^ on aura d'abord /(0|0) = ; en outre, l'équation du plan tangent qui est fl«0,4)
dans le cas de z=f{x^y), doit se réduire à Z = pour a: = 0,
y = 0, « == 0, et cela indépendamment de X et de Y ; du reste le
plan des xy étant le plan tangent au point considéré de la surface,
il faut nécessairement que -p et -~ s'annulent pour l'origine. On
dx dy
peut enfin iiégliger les termes aflectés des puissances de j: et de y supérieures à la seconde, puisque h étant un infiniment petit, il en sera de mème« en général, des coordonnées a: et y des points communs à la surface et au plan z = A,
On aura par conséquent
ou, en posant
(^\=r,, l^=So. l^\=i.
et si Ton choisit la direction des x et des y, restée jusqu'ici indéterminée, de manière à faire disparaître le rectangle a:y, on trouvera pour l'équation définitive de Tindicatrice,
2 /i = ro ar' + 1^ y*.
1S8. — Dans la formule qui précède, les coiîfficienls Tq et /q peuvent être de même signe, ou de signes contraires.
S'ils ont le même signe, il faut pour quelle s'applique à une courbe réelle, que h ait aussi ce signe ; ce qui indique que la surface se trouve d'un même côté du plan tangent, aux environs du point considéré. Elle représente alors une ellipse qui se réduit à l'origine pour A = 0. L'ellipsoïde, le paraboloïde elliptique, et Thyperboloïde à deux nappes, offrent des exemples de ce cas.
Lorsque r^ et ^o ont des signes contraires, h peut être positif ou négatif, et la surface s*étend à droite et à gauche du plan tangent. Dans ce cas l'indicatrice est une hyperbole ; et pour les valeurs positive on négative de A, les deux hyperboles projetées sur le plan des j:y ont les mêmes asymptotes et sont conjuguées. Quand /i=0, elles se réduisent à lews asymptotes. L'hyperboloïde à une nappe, et le paraboloïde hyperbolique sont des exemples de ce cas.
Pour ^0 = 0, l'indicatrice se réduit à deux droites parallèles à Taxe des y; elle se réduit à taxe des y si A = 0. Le cylindre esi un exemple de ce cas ; il en est de même du cône, car la section faite par un plan parallèle au plan tangent, est une parabole qui se réduit à deux droites parallèles, lorsque ces plans sont infiniment rapprochés.
Enfin pour ;'o== 0, l'indicatrice est encore formée par deux parallèles à l'axe des x, infiniment voisines, qui se réduisent à Taxe des x quand A = 0.
APPLICATIONS (;ÉOMÉTRtIQUES
1:89. — Xja somme des courbures de deux seotious normales perpendiculaires entre elles, est une quantité constante. — Supposons que le point considéré de la surface soit, comme précédemment, dM pied de la normale prise pour axe des 5, et que xO/y soit le/?/an/anye?e((Fig.29).
Menons suivant la normale Oz un plan quelconque zOv^ déterminant avec la surface donnée Tintersection OA.
Prenons sur cette intersection, et très rapproché du point 0, un second point M ayant MP pour ordonnée. Joignons MO et élevons sur celte droite la perpendiculaire MD. Menons aussi MB parallèle à Ov et unissons le point M au point G, milieu de OD.
Le point M se rapprochant indéfminimeni du point 0, langle en C du triangle OCM tendra vers zéro, tandis que les angles COM,CMO tendront vers un anz/lc droit; par conséquent, CM tendra vers une perpendiculaire à OM, c'est-à-dire vers une normale à lare OM ; il s'ensuit que le cercle de centre C et de rayon OC contenu dans le plan zOt;, tendra lui-même vers le cercle osculaleur de Tare OMau point 0. Désignons par p sonrayon de courbure j et déterminons sa valeur
Fig. 29.
p = limOC=lim-OD.
Le triangle rectangle OMD dans lequel MB est perpendiculaire sur l'hypoténuse, fournit la relation
qui donne
par suite,
Mais
OM =OBxOD,
loo
* "^'h-MB' < „ MB*
