OM' OB 20B

p = liml0B-|-Um5^.

lini^OB=0,

donc on aura en faisait OB = h et MB = u ,

f = lim^. (1)

En désignant par l'angle xOv^ on peut considérer et u comme les coordonnées polaires du point M dans un plan parallèle à xOy, qui coupe la surface suivant Tindicalrice ayant pour équation (187),

2h = rox'-\-t,y\ Cette équation serait, en coordonnées polaires,

2 A = w' (ro cos' 9 + fo sin* 9) ; et comme à la limite Téquation (1) donne

il en résulte

- =rocos'9 + /osin«9. (2)

Supposons que dans la relation ci-dessus (2), les coefficients r^ et /o aient le même signe, c*esl-à-dire que l'indicatrice soît une ellipse ^ et désignons par Ri et R, les deux valeurs extrêmes du rayon de courbure, qui correspondent à 9 = 0° et 9 = 90*; il viendra

et conséquemment,

- = ~cos«9 + -sin«9. (3)

De même, si Ton change 9 en 9 + 90% le nouveau rayon de courbure devenant Pi , on aura

-==--8in*9+— cos»9. (4)

pi Kl n,

£n ajouiaDft membre h membre les équations (3) et (4), on trouvera

p Pi Ri Ri'

formule connue sous le nom de théorème (TEulery qui fait voir, en effet, que la somme des courbures de deux sections normales perpendiculaires entre elles, est une quantité constante.

130. — Si en second lieu r^ et /q ont des signes contraires^ on sait que Tindicatrice est une hyperbole, et l'on a

-==fc(— cos'6 — — sin'e); p \Ri Rj /

le rayon de courbure a deux ininimums Rj et R„ pour 6 = et pour = 90* ; il est infini lorsque la quantité entre parenthèses se réduit à zéro, c'est-à-dire quand on a

équation qui donne la direction des asymptotes.

Enfin, lorsqu'on a fo == ^ l'indicatrice est un cercle, on a aussi Ri=:R2 , et la courbure est la même pour toutes les sections normales ; les points d'une surface répondant à cette propriété, portent le nom d'ombilics. D'après cela, on comprendra que Tellipsoïde, par exemple, a quatre ombilics.

— Lorsque les sections normales donnent pour le rayon de courbure un maximum ou un minimum, on les appelle sections principales ; on nomme courbures principales les courbures correspondantes. Les sections principales so7it perpendiculaires entre elles en chaque point considéré.

131. — Xjlgnes de courbure. — On appelle ainsi toute ligne tracée sur une surface, et telle, que les normales menées à cette surface, en chacun des points de la ligne considérée, /brm^n/ les génératrices d'une surface dévehppabler Rappelons qu*une surface développable est le lieu des tangentes à une courbe à double courbure, appelée arête de rebroussement.

Cela posé, considérons sur la ligne de courbure deux points M et M' infiniment voisins, ayant pour coordonnées respectives z, y, z, et x-^-dx, y + dy, z+dz. Les normales menées on ces points devant être tangentes en N et N', par exemple, à Tarête de rebroussement qui est une courbe à double courbure, elles ne seront pas dans le même plan ; mais leur plus courte dislance étant un infiniment petit du troisième ordre (lie), on ^Q\xi\^. négliger \ ce qui revient à supposer que ces tangentes sont dans un même plan, et qu'elles se rencontrent en un certain point C, dont nous désignerons les coordonnées par X, Y.

L'équation de la surface étant donnée sous la forme

soient j9 et q les dérivées partielles de la fonction z par rapport à X eik y {^3). Les équations de la normale MN qui sont (181)

{X-x)+p{Z-z) = 0, et (Y-y)^q{Z-z)=^0, (1)

doivent contenir le point C. Ce point se trouvant aussi sur la normale WN', les équations ci-dessus doivent exister quand on remplace les coordonnées du point M par celles du point M', c'est-à-dire par x-j-dx, y-\-dy, z-\-dz. Il en résulte que les différentielles des premiers membres de ces équations sont égales à zéro ; en regardant X, Y, Z comme constants, z comme fonction de x et de y, et en posant, comme au numéro (-43),

dp dp dq dq

dx ^ dy dx^ dy

on aura donc la relation

— dx — p{p dx-^q dy)+ (r dx -+-sdy) (Z — «) = ,

qui donne

{i+p')dx+pqdy

rax + sdy •

Pareillement

— rfy — q {p dx -i- q dy)-i' {sdx-i- 1 dy) {Z — z) = 0,

APPLICATIONS GKOMKTRIOrKS 443

donnera

y {i+q^)d!f+pqdx

et par suite

{i+p^) dx+pq dy (!+§'*) dij-^pq dx

rdx-\-sdy sdx-^tdy

Cette relation, dans laquelle les quantités /), y, r, 5, / doivent être considérées comme fonctions de x et de y, est nécessaire pour que le point M' se trouve placé sur la ligne de courbure, passant par le point M. Elle n'est autre que V équation différentielle de la ligne de courbure qui passe par ce point M, ou mieux, Téquation différentielle de sa projection sur le plan des xy ; mais pour remonter à la relation primitive entre x et y, il faut avoir recours au calcul intégral. L'équation de la ligne de courbure s'obtiendrait au moyen de cette relation primitive^ et de Téquation de la courbe.

13S. — On peut cepejidaîit, au moyen de la relalion (131.2), démontrer une importante propriété inhérente aux lignes de courbure. Pour cela, divisons dans la relalion (2) les deux termes de chaque membre par dx, il viendra, en employant la notation y au

lieu de -7^ , dx

i+P'-+pqy ^ {^+q^)y+p q

r-jrsy' s + ty

ou, en chassant les dénominateurs, et en ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de y' ,

[(l+i7')5-;>y/]y'*+[(l+y')r-(l+;?^)^]y'-[(l+/?')5-;?çr]=0 ; (1) équation du second degré en y', qui indique par cela même, que l'on doit suivre deux directions à partir du point M, pour tracer par ce point une ligne de courbure.

Si pour simplifier 071 prend comme au numéro 1S7, le plan tangent en M pour plan des xy, si on place Torigine en ce points et si, de plus, on donne aux axes des x et des y des directions telles, que le terme xy disparaisse, on aura

de sorte que l'équation (1) simplifiée deviendra

(r — Oy=0.

Lorsque r diffère de /, le point considéré M n'étant pas un ombilic, l'équation précédente donne y' = 0, et comme elle a perdu son premier terme, elle donne aussi y '=00; les deux directions que montrent ces valeurs 9ont perpendiculaires entre elles. On a vu (1S7) que les plans choisis des zx et des zy sont ceux des sections principales faites au point M ; il faut donc pour tracer sur la surface une ligne de courbure^ marcher dans la direction des sections principales en ce point.

En résumé, en chaque point M d'une surface, sauf les points singuliers, passent deux lignes de courbure perpendiculaires entre elles^ ayant chacune une tangente commune en ce point, avec la section principale correspondante.

133. — D'après les principes exposés ci-dessus, on conçoit que dans les surfaces cylindriques, les génératrices forment xxn premier système de lignes de courbure ; les sections droites qui sont les courbes perpendiculaires aux génératrices, forment le second sys^ tème.

Dans les surfaces coniques, c'est également la génératrice au point considéré qui forme le premier système; le second est formé par les courbes appelées trajectoires orthogonales des génératrices, lesquelles coupent ces génératrices à angle droit. Il en est de même dans les surfaces développables, et dans les surfaces réglées.

Dans les surfaces de révolution^ le premier système est formé par le méridien^ dont le plan contient toutes les normales menées en chacun de ses points ; les parallèles constituent le secoîid sysihme.

Quant aux surfaces gauches, le plan tangent en un point de la surface n'est tangent qu'en ce point ; et les normales à la surface* menées par les divers points d'une génératrice, ne se trouvent pas sur une surface développable. Dans ce cas, le plan sécant infiniment rapproché du plan tangent, coupe la surface suivant une hy* perhole, dont les axes indiquent la direction des lignes de courbure.

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