SURFACES
— Ces caractères sont déterminés par les équations aux différences partielles qui distinguent ces familles ; équations auxquelles on est conduit par l'élimination de toute fonction arbitraire. Une relation entre les différentielles de plusieurs variables^cst appelée équation différentielle ; lorsqu'elle contient les dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables, elle est dénommée équation aux différentielles partielles^ ou plus communément, eyîm/îon aux différences partielles.
13^4. — Surfaces cylindriques. —Une Surface cylindrique est celle qui est engendrée par une droite indéfinie, assujetie à se mouvoir sur une courbe fixe appelée directrice^ tout en restant constamment p«r«//<?/^ à elle-même. Toute surface ainsi obtenue peut être considérée comme engendrée par la même droite, s'appuyant sur une directrice plane, résultant d'une section faite dans cette surface par un plan. Si Ton prend ce dernier pour plan des ay, Téquation de cette directrice sera
Les équations de la génératrice seront
x = azH-a et y = é-s + p. (2)
Les coordonnées ic = a, y = p de sa trace sur le plan des xij devant rencontrer la directrice, elles doivent satisfaire à Téqualion (1) ; on aura donc Féquation de condition
et en éliminant oc et ^ entre les équations (2) et (3) on obtiendra
^[x — az^ y — bx) = ; équation générale en quantités finies, des surfaces cylindriques.
146 CALCUL DIFFERENTIEL
Pour trouver une relation indépendante de la fonction arbitraire ç, différentions l'équation (3) par rappport à x^ puis par rapport à y; il viendra en posant toujours
dz dz
^(i-»rt-5^«P-0, et
On déduit de ces relations
cff
dcL bp dff i'—ap
i — bq
rfP
ou, en chassant les dénominateurs et en simplifiant,
a/? + éy = 1 , équation aux difféi^ences partielles de toutes les surfaces cylindriques.
136. — Surfaces coniques. — On nomme surface conique une surface engendrée par une droite indéfinie, qui passe constamment par un point fixe appelé sommet, en s'appuyant toujours sur une ligne donnée que Ton nomme directrice.
Concevons, comme pour les surfaces cylindriques, un plan sécant mené d'une manière quelconque, mais ne passant pas par le sommet ; prenons-le pour plan des xy, et choisissons pour directrice la courbe qu'il détermine par son intersection avec la surface conique. On aura pour Téquation de cette directrice,
Si les coordonnées du sommet sont a:,, yi, z^, les équations d'une géuératrice quelconque seront de la forme
x — x,:=:a[z — z,) et y — y, = h{z — z,), (2)
aoXb étant des paramètres variables. Le point de rencontre de cette génératrice avec le plan des xy^ aura pour coordonnées
APPLICATIONS GKOMÉTHiyUES 147
x^= x^ — az^ et y = y\ — bz^ ;
et coirimo il se trouve sur la directrice, ces équations doivent satisfaire à la relation (1). On aura donc
ou, & cause des équations (2),
ç (x — az, y — ô^) == .
En difFérentiant par rapport à a: et par rapport à y^ on trouverait, comme ci-dessus, la condition
et en remplaçant les paramètres par leurs valeurs tirées des équations (2),
z — z,=p[x — x,) + q[y — y,), équation aux différentielles partielles de toutes les surfaces coniques,
136. — Surfaces de révolution. — Toute surface engendrée par un cercle variable de grandeur et de position, qui se meut le long d'une droite appelée are, à laquelle il est constamment perpendiculaire et qui contient tous ses centres successifs, est appelée surface de révolution.
D'après ce mode de génération, on peut considérer chaque cercle comme IHnlerseciion d'un plan variable perpendiculaire à Taxe, et d'une sphère de rayon également variable, qui aurai t^ son centre sur un point fixe de cet axe. Supposons que ce point se trouve sur le plan des ary, et que ses coordonnées soient
Soient aussi
^i = a^i + oc et yi = ôj, + p, (1)
les équations de Taxe de révolution. Celles du cercle générateur seront
(x— a)' + (y— ?)'+5' = R' et ax+by-^c = k, (2)
us CALCUL DIFFÉRENTIEL
dans lesquelles les quantités R* et k varieront avec la position du cercle, et seront liées par Téquation
«de sorte que l'équation générale de cette fan)ille de surfaces sera
(x-a)» + (y — py + 2^ = <?(ax4-ôy + c). (4)
On trouverait réqtiation différentielle, en différentiant Téquation (3) et en éliminant la fonction <p, comme il a été fait pour les deux surfaces que nous venons d'examiner ; mais on y arrive plus simplement, en remarquant que la normale à la surface coupe Taxe de révolution ; par suite, ses équations devant satisfaire aux équations (1) seront, en représentant par a?,, y,, z, les coordonnées du point de rencontre (id),
L'éq%iatio7i aux différences partielles résultera de l'élimination de ^i> Vx Z\i entre cette dernière équation et la relation (1) ; on trouvera de cette manière,
ou
[y — bz — p) /> — {x — az — a) y + û (y — P) — A (j: — a) = 0,
137. — Nous ne nous étendrons pas davantage sur les applications du calcul différentiel, nous bornant à donner ci-dessous^ sans entrer dans la démonstration, les équations aux différences partielles des familles de surfaces suivantes :
Surfaces développables s* — rt = 0.
Surfaces gauches à directrice rectiligne . rx* + 2sxy + ty* = .
Surfaces gauches à plan directeur .... q^r — 2pqs + pH = .
Surfaces conoïdes px + qy = .
Les quantités />, y, r, s, t représentent toujours les dérivées annotées (43-131).
