SECONDE PARTIE

138. — OtiJet du oaloul intégral. — Le calcul intégral a pour but de remonter des dérivées aux fonctions qui leur correspondent. Il est rinverse du calcul différentiel par lequel on cherche, au contraire, la dérivée d*une fonction connue. Ainsi, étant donnée la fonction continue

on trouve au moyen du calcul différentiel^ sa dérivée

et sa différentielle

dy = r{x)dx', (3)

tandis que Ton se propose avec le calcul intégral, étant donnée cette dérivée (2) ou cette différentielle (3), de trouver la fonction primitive (1).

189. — Interprétation géométrique et notation d'une intégrale. — Soit donnée la fonction

représentée géométriquement par la courbe AB (Fig. 30).

130 CALCUL IiNTÈCKAL

Cliercbons l'aire interceptée entre cette courbe, l'axe des j: et

les deux ordonnées PM et QN, par exemple.

Divisom, à cet effet, l'intervaHc PQ en un

certain nombre de parties égales, et élevons

des ordonnées par les points obtenus; l'aire

FMNQ se trouvera ainsi divisée en autant de

/;'a/)er«CHm/iyH*'S,ayant tous même hauteur,

et ayant pour bases les valeurs successives

^'^' ^"' des différentes ordonnées. Menant aussi par

les extrémités M, M', ... N des parallèles à l'axe des x, on forme

une série de rectangles intérieurs et extérieurs k chaque trapèze

respectif; et qui, tels que PMFP' et PEM'P' à l'égatd de PMM'P',

comprennent ce trapèze. Il en résulte que l'aire considérée, que nous

représenterons par U, est comprise entre la somme des rectangles

intérieurs et celle des rectangles extérieurs.

Mms la différence de ces deux sommes est évidemment égale au rectangle ME'FF, dont la base ME', — différence des ordonnées extrêmes — , est invariable, et dont la hauteur MF ou h peut devenir aussi petite que l'on voudra, en prenant un nombre de divisions suffisamment grand. Par suite, ces deux sommes ont pour limite U, ce qui donne

U=iim. Sy/i, (2)

S désignant la somme des produits analogues yh .

Si l'on passe à la limite, c'est-à-dire si le nombre de rectangles augmente indéfiniment, le côté h devenant infiniment petit, deviendra égal k dx différentielle de l'abscisse, tandis que y variera d'une manière continue. On aura alors la vraie valeur de l'aire, ou la ^omme intégrale des éléments de celte aire, que l'on indiquera en

remplaçant la caractéristique X par / , et en écrivant

U= fydx;

expression dans laquelle chacun des produits ydx est appelé un élément de l'intégrale, et qui s'énonce : U égale l'intégrale de ydx, ou U égale somme de ydx.

— Celte intégi-ale est dite indéfinie, parce que l'on ne spécifie

NOTIONS PKÉLIMINAIHES 151

pas entre quelles limites elle est prise ; mais elle devient déterminée lorsqu'on donne les abscisses extrêmes ; elle prend dans ce cas une valeur particulière, pour laquelle elle est dite définie. On indique cette circonstance, en écrivant au bas et k droite de la caractéristique / , Tabscissc qui correspond à la limite inférieure^ et au

haut de ce même signe, celle qui correspond à la limite supérieure. Pour désigner que l'inlégrale est prise depuis Fabscissc a jusqu'à l'abscisse 6, on écrira

= / ydx,

qui s'énonce : U égale l'intégrale de a à ô de ydx.

140. — L'aire de la courbe AB (Fig. 30), à partir d'une ordonnée initiale supposée lixe, variant avec x^ est une fonction de cette variable, et Ton a

D'ailleurs, la comparaison du trapèze PMM'P', qui n'est autre que Taccroissefuent AU de cette aire, avec le rectangle de même hauteur A = Aa?, et de base y, donne Tinégalité

AU yA^<AU, d'où, y<^. (2)

En faisant tendre ùix vers zéro, ces inégalités tendront à se transformer en égalités, et le second membre -de la dernière expression

d\] deviendra à la limite,— ou /'(a:), d'où résultera l'égalité (139.1)

qui montre que la fonction F (a?) ou l'ordonnée de la courbe ^ est la dérivée de la fonction f{x) représentant l'aire considérée.

— En rapprochant les expressions (1), (3) et (139.3) on pourrait en déduire

r{x)dx = f(x);

mais il faut remarquer que la fonction f{x) , n'exprime pas dans toute sa généralité l'intégrale de sa différentielle f'[x)dXj attendu

que deux fonctions qui ne différent que par une comiante^ donnent la même dérivée ou la même différentielle (8t). En remontant de celle-ci à la fonction primitive, il y a lieu par conséquent, d'ajouter à cette dernière une constante arbitraire, que l'on indique généralement par C ; de sorte que Ton aura l'intégrale indéfinie

f'{x)dx = f{x)-hC,

ou l'intégrale définie

y'{x}dx=f{x)-hc,

la constante cessant alors d'être arbitraire.

On voit par là, que pour obtenir la valeur d'une intégrale définie, ou pour remonter à la fonction primitive, il faut déterminer l'aire de la courbe comprise entre les deux ordonnées, qui fixent les limites de rintégrale ; celte courbe étant la représentation géométrique de la fonction dérivée du premier ordre. C'est pour cela que le calcul d'une intégrale définie est appelé une quadrature,

±Ai, . •— TtLéorème fondamantal du oaloul intégral. — Pour trouver la constante d'une intégrale définie

f'{x)dx=f{x) + Q., (1)

on observera que l'intégrale s'annule (139) 'pour x=^a (Fig. 30), attendu que l'aire se réduit pour cette abscisse à zéro ; on aura, en conséquence,

0=/(a) + C, ce qui donne (: = — /(a); (2)

et par suite,

'f'(x)dx=f{x)-f{a). (3)

On aurait pour x=6.

y'(x)dx=f{b)-f{a). (4)

Le résultat indiqué par cette dernière expression subsiste encore, lorsque la fonction continue, ou sa dérivée /' {x) est décroissante au

• lieu d'être croissante y les signes seuls sont changés. Il convient

également au cas où les axes coordonnés ne sont pas à angle droite

à la condition de donner à cette valeur comme coefficient, le sinus

de rajigle que ces axes font entre eux. Si 6 était cet angle, on aurait

eu effectivement, au lieu des rectangles élémentaires yh qui ont été

considérés (139), des parallélogrammes ayant pour 5t/r/acesin6^A.

Dès lors, on peut formuler la règle suivante, qui constitue le théorème fondamental du calcul intégral : Pour trouver la limite vers laquelle tend la somme des produits f ' (x) dx, de la dérivée f ' (x) d*une fonction continue, par la différentielle dx, — quand on fait vaner x d'une manière continue, depuis les valeurs comprises entre a. et h, — on cherche la fonction prifnilive à laquelle correspond la dérivée, 07i remplace successivement dans cette fonction la varia" ble Xyjmr sa limite supérieure b, puis par sa limite inférieure a, et l'on prend la différoice de ces deux résultats.

Remarque. — Il peut arriver que l'intégrale renferme des éléments négatifs. Ce cas se produit lorsque la courbe qui représente la fonction dérivée, descendant en dessous de Taxe des x, les ordonnées deviennent négatives. Si la somme de ces éléments négatifs était égale à celle des éléments positifs, Taire totale serait évidemment nulle.

14d. — Application à une intégrale simple. ^ Supposons que la courbe AB (Fig. 30) ait pour équation

et que l'on ait à déterminer l'aire comprise entre celte courbe et l'axe des x, depuis Tabscisse a = 2 jusqu'à l'abscisse 6 = 3. D'après ce que l'on vient do voir, on aura l'intégrale définie

^ \j= f 6x'dx;

ce qui conduit à chercher la fonction qui a 6^:' pour dérivée. On reconnaît aisément que cette fonction est 2.r'. Remplaçant successivement X par 3 et par 2 dans 2j:\ on trouve 54 et 16 ; par conséquent, on aura pour l'aire cherchée,

U= r 6a:Wx=2A' — 2«^ = 54 — 16 = 38,

134 CALCUL LNTÉGHAL

IL — PRINCIPES DINTÉGRATION.

— La caractéristique j indiquant une opération inverse à celle

indiquée par rf, ces deux symboles s* annulent quand ils se suivent immédiatement. Ainsi on aura, sauf la constante arbitraire,

143. — L'intégrale d'une somme algébrique de différentielles, est égale à la somme algébrique des intégrales, des différentielles qui la composent. — Si Ton a Texpression

dans laquelle, u^ v q\.z sont des fonctions quelconques d'une même variable x, on aura, d'après un principe connu des différentielles (88),

d[u — v+z) = du — dv + dz ;

et en intégrant il viendra

l d{u — 1? + 5)== / [du — dv-^-dz).

Or

, i d[u — v + z)=:U — 1? + 3= i du — i dv+ fdz;

par suite, on obtiendra en faisant abstraction des constantes arbitraires,

/ {du — rfv + dz) = I du — / rfv + I dz,

ce qui démontre le principe énoncé. Il serait facile de Tétendre à un nombre quelconque de variables. On aura donc d'une manière générale,

f[Y{x)+f[x) — tf{x)]dx= (¥{x)dx+ ff{x)dx— fff{x)dx.

±'4^. — Tout facteur constant peut indifféremment être placé en dehors du signe / , quand il se trouve sous ce i^gne ;

PHINCIPKS DMNTKGHATION 155

ou inversement, on peut le faire passer sous ce signe s'il est en dehors sans altérer le résultat. — Cotte faculté de transposition résulte directement de ce que le facteur constant placé sous le signe, affecte tous les termes d'une somme, et que multiplier séparément chaque terme d'une somme par un facteur, revient à multiplier ce facteur par la somme de tous les termes. Cela découle aussi (83. Rem.) de Tégalité

dans laquelle a est une constante ; cette expression donne en effet,

at; = j adv;

et par suite, a 1 dv= jadv,

d'où, a ixdx=laxdx.

1-45. — On démontre dans le calcul intégral que chaque équation différentielle a son équation intégrale ; mais si, comme on Ta vu dans la première partie, la différentiation est soumise à une règle générale (15), il n'en est pas de même quand il s'agit de remonter de la dérivée à la fonction primitive. On conçoit combien ce défaut de règle peut créer de difiicultés, en obligeant d'avoir recours dans certains cas, à des artifices de calcul plus ou moins détournés.

— Nous do?i720fiSy ci-dessous, le tableau de quelques différentielles étudiées dans la première partie, en mettant en regard les intégrales qui leur correspondent :

da^+^ = (m+^)x'*'dx (18) / x'^dx = |-C.

. 1 i<5ff ^ t / X r^ dx ^

d\ogx=^ dXj (19) I loge — =log j^ + C.

, , log a , , , /* , loff e

loge J loga

d smx^=s cosxdx f (SO) j cos xdx = smx-{'C.

156 CALCUL LNTÉCRAL

dcosx== — sinxdXf (S8) j sin xdx = — cosa:+C.

dx , . r dx

rf lang a?= — ?— , (ô8) / — r- = tangar+C.

dx r dx

rfcot j:= — r-r~> (®®) / -r-r-== — cota?+C.

u^ C dx

d nvc. sîn T. = J (S9) / ==arp. sîn.7?-f.r

J \Ji-hx' a arccosa: = . , ...(S9) / ■ =arc cos x-\-C.

dx dx

dx r dx

rfarclanga:=— — J, (09) 1 ——;=== i^rc tango: H-C.

dx C "■"*" dtX rfarccota; = — •: r, ..•(99) /- ■ = arc cot a?+C.

Lorsque la différentielle proposée n'est pas connue, ce qui est le cas général, on pourra la ramener à une différentielle connue, par Tun des trois procédés suivants ; toutefois on n'est pas toujours certain d'y parvenir.

146. •« Premier procédé. — Le premier et le plus simple procédé, basé sur la propriété démontrée (144), consiste à multi*plier et à diviser l'intégrale par un facteur comtcaU convenable.

1* — Ainsi dans l'intégrale

"dx

la différentielle placée sous le signe / ne diffère de dx, dont

rintégrale est log x (145), que par le coefficient constant log e ; on peut donc la ramener à cette forme en muliipliajit sous le signo par log e. Mais pour ne pas altérer le résultat, il faut faire ea dehors du signe l'opération inverse, c'est-à-dire, diviser par ce même coefficient log e^ et Ton aura

J x log e J X log e

en ajoutant une constante arbitraire C (140).