PRINCIPES D'INTÉGRATION

Si les logarithmes sont pris dans le système mpérien^ on obtiendra (19)

— t=log'x+C.

Soit encore rintégrale

a^]o^adx ,

La différentielle â'^log a ^/j: qui n'est pas connue, le devient(l^5) en divisant la quantité sous le signe par log e. Cette opération entraînant l'obligation de multiplier hors du signe par la même quantité (1^*4) y on trouvera

I a'\ogadx=\oge j r-^ a*rfx = log c a^ -+- C .

On arrive au même résultat en mettant en dehors du signe / , le facteur constant log a.

147. — Deuxième procédé. — Ce procédé s^eifectue par changemeiit de variable ou par substitution. Il consiste à remplacer dans Texpression placée sous le signe d'intégration, la variable par la valeur qu'elle prend dans une relation convenablement établie entre elle et une variable auxiliaire. Après l'intégration de l'exprèssien ainsi obtenue, on doit remettre la première variable à la place de la variable auxiliaire.

1* — Supposoîis que l'on ait à trouver

Trdx.

Posant

x=zav, d'où, dx = adv, et x*=aV, on a en substituant (l'46),

/a* C àv

• fl//«=3fl' 1 -7==:=rt«arcsinw-f-C;

et en remettant pour v sa valeur - ,

158 CALCUL ÏNTKGRAL

zdx=à^ arc sin - + C

2* — Soit en seco7id lieu

/a — dx, 1 + a'x»

En posant

on trouve

, dv j t^

et en remplaçant dans l'intégrale proposée, celle-ci devient (145)

/% a dv r dv

J 1 + a'- OU, en mettant à la place de v sa valeur xa^

—:dx = arc tang ax + d.

l'^S. — Troisième procédé. — Ce troisième procédé dénommé improprement intégration par parties, repose sur la différentiation du produit de deux fonctions. Si u et v sont ces fonctions d'une même variable, on a vu dans la première partie (93), que

dMV = Il dv + V du , (^ )

ce qui donne

Il dv i= d.uv -\- V du . (2)

Les intégrales des deux membres de cette égalité ou des deux différentielles, prises entre les mêmes limites, étant composées d'un même nombre d'éléments égaux chacun à chacun, sont nécessairement égales, et Ton a

jtidv= I d.uv — jvdu; (3)

Comme / d.tiv revient à uv, il en résulte