PRINCIPES D'INTÉGRATION

I udv = tiv — I vdu. (4)

Ce qui signifie que Vititégrale d'un produit composé d'un facteur u, et d'une différentielle comme dv, est égale au produit du premier facteur u par rhitégrale v de cette différentielle, diminué d'une seconde hitégrale comprenant l'intégrale v cowme^ multipliée par la différentielle du premier facteur u.

Celte relation permet dans certains cas, de ramener une intégration proposée à l'intégration d*une différentielle connue.

1** — 5ot7, par exemple ^ à prendre

Posons d'où,

\of^ xdx.

t/=logx, du = ^^dXy

et dv = dx

provenant de v=x;

Tapplicaiion de la formule 4 donnera (l'45)

lose

logxdx = x\ogx — I x—^— dx = x]ogx — / \ogedx;

et comme

on aura

/x logxdx = x{\ogx — \oge) = x\og — hC

2* — Soit proposé encore

axcïBngxdx.

dx

Faisons M==arctanga:, d*oii, du^=^

et dv = dxj ou r=a?*

m CALCUL INTÉGRAL

On trouve par la même formule (4),

//* xdx a,vciaxïgxdx = xaTcia.ngx — / t ;.

Or, cette dernière intégrale peut être ramenée facilement à /a

du forme — , dans laquelle le numérateur est la différentielle du u

dénominateur. Il suffit de multiplier par 2 sous le signe, ce qae

Ton peut faire à la condition de diviser par 2 en dehors de ce signe;

du et comme — est la différentielle de log'w (19-1-46), on aura

/xdx i r2xdx 1 , , ,

par conséquent,

arc tang xdx=x arc tang x — - log' (1 + x') + C,

en ajoutant toujours une constante arbitraire.

m. — LNTÉGIUTION DES DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES.