Reprenons la différentielle binôme
jf^ dx {a + bx'^y , [{)
et proposons-nous de trouver son intégrale, quand ses exposants ne répondent à aucune des conditions que nous venons d'examiner. Nous pourrons appliquer pour cela, le procédé de l'intégration par parties (1*48); car Tun des facteurs af^dx dont elle se compose, est une différentielle connue. On aura donc
faf^dx {a + bx*)r = {a'^ba^y
yn -f-
{a + dj*)Fa*H-« pbn
wi + 1 - /> ô n (a + bx/^y-^ a:*~* dx
Pa*H-« non C
: /^*+*(a + te«)'-*rfa:. (2)
i m + ij ^ ^ J V ^
La question est ainsi ramenée à chercher Tintégrale d'une différentielle, de même forme que la proposée (1), mais dans laquelle l'exposant p est remplacé par p — 1 et m par m + n.
2°. — On a d'ailleurs identiquement
aaf^ + ôx*-*-* = af* (û -H bx*) , ou bx^'^-^=af^(a + bx*^) — axl^ ;
en introduisant cette valeur à la place de bx^-^"^ dans le dernier terme de l'expression (2), on aura en le décomposant,
pna
- / (« + ôx*)p^*a;*cte ;
iM CALCUL INTÉGRAL
si l'on remplaoe dans rexpression (2), le dernier terme par cette valeur trouvée, et que ron fasse passer le terme négatif dans le premier membre, on aura enfin après réduction,
^ P^ faf^dx{a-hbit^)9-^. (3)
— Cette formule donné lieu h la suivante, lorsque, après avoir tiré la valeur de Tiotégrale du second membre, on y change p en
Il sera toujours possible en employant Tune ou l'autre des formules (3) ou (4), suivant le signe de jp, de ramener l'intégration de la différentielle binôme, & une autre Ae même forme où m reste le mime^ mais dans laquelle la valeur absolue de p aura été diminuée (Fune unité.
17Ô. — Vintégration de la différentielle binôme peut encore se faire par le même procédé, en prenant d*autres facteurs, qne Ton fera apparaître en multipliant et en divisant l'expression proposée par nAx*-"*, dérivée de bod^ . // viendra en effet,
1 ^ — — ar*-»-^* dx (a+ ôx«) p bn a?»-* ,
bn \ , 7
et en prenant pour un des facteurs ^expression
{a'-hbûif^)fbnx^^dx, qui est la difTérentielle de
p + 1 on aura
INTÉGRATION DES DIPFtRBNTISLLES ORDINAIRES m
Cette formule permet de ramener IMntégrale proposée^ h une autre de même forme^ avec cette particularité d'avoir pour exposauts m—nau lieu de m^^ip + i au Heu de p,
3*. — Pour changer encore ces exposants, remarquons que Ton peut écrire l'égalité
a*-» (a 4- *a:*)'-^« = af^^{a + bsBi*)9 {a + éa*) , ou
0^»-» {a + baf) F+» = aa*'-»(a + bx*)f -+- Aaf» (« 4- te»)' ;
on aura par suiiet
ix^-* flte (a + ôj:»)p-»-« = a Ta!*-» dx{a + baf'Y
b l x'^dxifl+bx^)^ .
Substituons actuellement cette valeur dans la formule (5), puis réduisons après avoir fait passer le dernier terme dans le premier
membre, nous obtiendrons
1 af^dx(a'-^ba^)f^=-
»(tf+te•»)^^•»
é(np + m+l)
Enfin, si dans cette formule on tire la valeur de l'intégrale du second membre, et que l'on change m en m+n, on trouvera
a(iwH-l) "^ -^ , : ^ /a?"^*cte(a+A^)'. (7).
On pourra toujours, quel que soit le signe de m, en employant Tune des formules (6). ou (7), ramener l'intégrale proposée à une
i^ CALCUL INTÉGRAL
autre de même forme ^ ohp n'aura pas variée mais dans laquelle la valeur absolue de m sera diminuée de la quantité n.
Les formules (3) ou (4) permettent de diminuer la valeur absolue de p d'une unité, et parlant, d'arriver par des opérations successives à une fraction, tandis que les formules (6) ou (7) servent à sortir de m tous les multiples de n qu'il renferme ; on arrivera conséquemment par l'emploi judicieux de ces formules, combinées dans certains cas avec (2) et (S), à intégrer toujours la différentielle binôme.
H y a lieu de remarquer, toutefois, que l'on ?îe peut employer
m^^ 1 les formules (3) et (6) quand |-jo = 0, ni la formule (7) si
m=*— 1; d'ailleurs ces conditions ramènent le binôme aux cas examinés (170. 1"* et 2®).
1*73. — A,pplioatio]i. — Soit par exemple à trouver l'intégrale de l'expression différentielle
x^dx
que Ton peut écrire
x^{l — x*)''idx,
et dans laquelle les exposants ont les valeurs suivantes :
tandis que
a = i, et b= — 1.
n s'agit de diminuer les exposants m et p en valeur absolue ; employons pour cela la formule (5), il viendra
fa;' {i —x')~d^ = ^^'{i —x^l — ^ /a?(l— ar*)~ ^.
L'exposant m est devenu égal à 1, et l'exposant p k .
Dimi7iuons encore la valeur absolue de ce dernier sans toucher à l'autre, et employons à cet effet la formule (4) en y faisant
nous obtiendrons
x{l — X*) *dx=:{i — x^) «X* — 1(1 — ar') îxdx; or, on sait (163) que
— |{^—x*)-lxdx= Jj=:l = ^1 — x' + C.
Nous aurons donc, en récapitulant et en simplifiant,
fx" (1 — x')-î<fo=^r(i — x»)~«— 2 (1 — ^rH
OU
3 \w(i:c«)3 ^/îH^ /
ET EXP0NENTIEUE8.
V9^. ~ I>ifrérentielle8 logaritlmilqueB. — 1® — Soit à trouver Tintégrale de
lof^xdx.
Le procédé de rintégration par parties donnera, comme nous Tavons déjà vu (1-48),
et comme
/ log xdx = x log X — / X dx ;
/ X dx = log e I dxz=:x log « + C ,
on aura
m CALCUL lNTËCt(AL
2» — On trouverait par la même méthode, pour
af^ lofl se dœ f
/x«^* r x"H-* loge , ^ ® m + 1 ym+1 X
d'ailleurs,
