ï: = logtf / ^ ^ » gglogg- '-rn-t-C
donc,
a:*loga:6te = loga: ^ y -- log ^ ; — ■■ + consi..
3« — Prenons encore
x^ (log' x)^ dx * (1)
En employant toujours le procédé de Fintégration par parties^ on obtiendrait ( 148-19)
a:«rfa;(log'ar)'' = -(kig'ap)»— — - I a;»cte(log'x)»-» ; (2)
et Ton voit qu'en continuant ainsi, on pourrait diminuer successivement d'une unité I^exposaot n !ôf sqtt'H est pùëitif, et obléirff 1a valeur de Tintégrale si n est, en outre, entier. On arrivêffalt fltt même résultat, en changeant dafîS £é((e dernière expression n par le» tAleor# siieeem ve» n *— ^ ly n^^^^fmff eto^
Mais si l'exposant n 65^ 7ié?'^a/f/, il i^vXpour diminuer M t*leiir absolue, décomposer l'expression proposée, de manière à faire tomber l'intégration wûfh fâetedr (log'^)*« Posons pour cela
t; = log'a:,
dùC
d'où, «?»=:—, (3)
INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES i89 nous aurons
ce qui donnera par le même procédé (i-^S), en remetUoi après réduction log ' a: à la place de v ,
(log'x)»""~(n— l)(lQg'a:)— »"^ n—i J (log'x)^'
U est indifférent pour diminuer encore la valeur absolue de l'exposant n, d'employer l'un ou l'autre des moyens ci-dessus, applicables à l'exposant positif, mais il sera plus simple de changer n en n — 1, en n — 2, etc.
Cette opération se prolonge à l'infini et donne lieu à une série, lorsque n est négatif on fractionnaire ; notons, du reste, que cette marche est en défaut quand n étant positif, m = — 1 . On aura âàtiê ce dernier cas, en posant toujours (d)
v = log'x,
/dx r t^* (bir';»)*^-*
On trouverait pour n négatif ei «1= — i (4),
C dx 1
I ^. hcoiist..
J xi^og'x) {n—i) (log'ar)*-*
176. — BiirérentiellMi «xpAMlitUlte»* ^^ lo — Supposons donnée la différentielle
a^dx.
Employant fe premier procédé (i-4«), Où remarque (1-46) que
log a Ton rendra cette expression intégrable en la multipliant par r • ;
il viendra donc en faisant l'opération inverse en dehors du signe,
J loga J logtf log a
Si l'on snppoie a=^«> bAM dei logarittmé» népéfietu, on aura
i90 CALCUL INTÉGRAL
/ e^dx =
e*+const. ;
ce qui s'accorde avec la remarque (d7).
— Pareillement on aurait
/log e ar'^ dx= — .— ^— a-* + const. , loga
et si a = c ,
/ r"*rf/; = —
^"•* H- const..
2® — Lorsque l'exposant x est multiplié par tm facteur cofistaîU, et que Ton a à intégrer
a^dXf
on pose îix = v,
d'où, ndx=dv;
et il vient
/l r , 1 loff e loff e
a^dx=- I a^dv = '' ,--^— g«>= , ■ a«* + const.. 71 J nloga nloga
— On a de même,
/\o2;e ar^dx= T^ — a--** + const..
nloga
— Comme aussi ,
/e*^dx = '-e^+consU,
/«■"** <fe = c^"* + const. .
30 — Considérons encore l'expression différentielle
a^af^ dx .
L'intégration par parties donnera (148)
/a«x*rfx=,-^^ a«a?*— ~^ f a^x'^^dx; loga loga J
INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES i(H si les logarilhmes soat pris dans le système népérien^ on aura
et si a=e,
Pour n entier et positif on arrivera, en répétant suffisamment cette opération^ ou plus simplement en donnant dans ces formules
à n, les valeurs successives n — l,n — 2, , à trouver Tinté*
grale cherchée.
Si au contraire n est négatif , on pourra pour le diminuer en valeur absolue, tirer la valeur de l'intégrale du second membre^ dans chacune des relations qui précèdent, puis changer n en n + 1 ; on obtiendra de cette manière, à la place de ces relations, les suivantes:
n+1 (n + l)logc7
En poursuivant les calculs au moyen de ces formules, on arrivera pour l'exposant quand il est entier, kn= — 1, valeur pour laquelle elles tombent eti défaut ; mais il sera possible dans ce cas, comme nous le verrons plus loin (1S1)> d'obtenir Tintégrale par développemeiU eti série.
— Lorsque n sera fractionnaire, on pourra en employant l'une ou l'autre des formules dernières ou les précédentes, suivant le signe de n, ramener cet exposant à une fraction, l'intégrale restant toujours de même forme.
m CALCUL INTÉGRAL
176. — X>iffére]itielle8 des fonctions ciroulaires. •— La table (145) donne immédiatement les intégrales suivantes :
1®— / smxdx=: — cos x+const.
et
CCS xdx = sm x+const..
2® — Si Von avait à intégrer
mi{nx)dx^
on aurait, en posant
nx=iVj
d*où, ndx = dvj
sin(?iz)rfa:=- / sînvrft?= cost;4-C= cos (;ja;)-[-con8t..
— Pareillement j
CQs(nx)dx= -sin (;«:)+ const.,
30 — Pour trouver l'intégrale de
ifing X dxy
on remarquera que cette expression revient à
sinxdx — sinâ;dr
cos X cos X
et que dans cette dernière, le numérateur est la différentielle du dénominateur ; par suite, son intégrale n'est autre que ie logarithme népérien du dénominateur (lO). Donc .
tang X dx=^ — log' cos x + const..
— On trouverait de la même façon,
r f cos X dx
. \^o\.xdx= I — : =loff'sinj:+coQst..
J J smx
— On aurait pour
tang {jix) dx ,
// X , * r — sin(na:)rf(nx) 1, , , ^ tane(nic)cte= I ; — ^ = log cos(rw:)-Hîoast.. °^ ' iij cos(;ix) n
4» — Soit à trouver l'intégrale de
dx
sin X
du nous allons rendre cette différentielle de la forme — , et pour cela
posons
d'où, dx=2dvy
ce qui, en substituant, transforme l'expression proposée {Voir trigon.) en
2rfv dv
sin 2d sin v cos v '
puis divisant les deux termes par cos^v, on a
dv cos ■ r , tang V
de la forme annoncée ; car la différentielle de tang v est précisé-
dv ment — j- (S8.2**). Par suite, il viendra
cos'v
r dx r ^^
