I -: — = / COS* V
J smx / :
^ tang V
5» — IJintéyrale de
log' tang i> + C = log' tang - + const. .
dx COS.2;
peut être ramenée à la précédente, en posant
x = ^ — y, d'où, dx = — dy\ ce qui donne en substituant,
( =— r-r^==— log'tang|+C=log'tang(j— |)+const..
J cosx J siny 2 \4 2/
go — On trouve sur le tableau (i'46), les intégrales ci-aprës :
dx
= — cot a? + const. , sin'x
dx
-r— = tang X 4- const. .
cos'a:
7* — Soii proposée l'expression
sin' X dx.
La relation trigonométrique connue
cos 2x = cos* X — sin' ar, (1)
donnant
1 1 sin'.r=- — -cos (2a:),
on aura
/ sin*xdx= I — / cos (2a?)rfic=- — -Xrsin2a: + C
2a; — sin2x
const. .
— Ofi trouverait pour
cos' X dx,
sachant que Ton obtient de [la même relation trigonométrique (1),
cos' j: = - -f- - cos 2 X ,
r rdx i r X \
I cos^ xdx== I -~ + " / cos2xrfdj=- +-sin2x + const.
2a:4-^in2j;
const..
— On aura analogiquement,
sin* (nx) dx=- j sin* (nx) a{nx) = h consi.,
et
/•/ N , ^ r ./ N ,/ X 2nx+sïn2nx cos' (nx) œr = - 1 cos' (/m?) a (nx) = , + const. .
8* — Soi/ encore l'expression différentielle
sin' x cos' x dx .
En vertu de la relation trigonométrique
sin' 2x=4sin' xcos' x,
Texpression proposée peut s*écrire
sin" X cos* X rfa:=- sin' 2xdx=z^ sin" 2 xe^. 2x ;
et par conséquent, d'après ce qui précède,
/. , * r . . ^ f .* *^ — sin 4x sin'a: cos' ara x=- I sin'2a;a. 2a?= — hconst..
9* — Supposons que Ton donne
sin'o; cos'rc
Sachant que
sin *x= 1 — cos*a: , on aura
sin* a: . r dx
/siTir X r dx r .
rfx = / — : / aa:= tang x — a: + const..
cos'o: J cos'a: J
— On trouverait aussi de la même manière,
/cos ^ X r dx C
, , dx= I T-z 1 dx= — cotx — ar + const..
sm'a: J sm'a: J
1 0* — Si Ton avait
z*sin X dx,
rintégration par parties (148) donnerait
j x^ sin xdx:=: — af^ cos a: + m j a?"*"*"* cos xdx ;
et en abaissant ainsi successivement l'exposant m d'une unité, on arriverait s'il est entier et positif y k Tune ou à l'autre des intégrales,
/ X sin X dx= — a:cosx+ / cosxdx= — xcosx + sin Jî+const., / X cos xdx = 07 sin a: -^ / sin xdx = a: sin j: + cos x + const.,
selon que m est pair ou impair. De sorte que Ton obtiendrait pour l'intégrale définitive,
— m (m — 1) (m — 2)x^'^ sinx— -H consl..
llo — // peut arriver que l'intégration par parties donne, au second membre, la même intégrale que ]a proposée. Ce cas se présente pour l'expression
e^^ sin a xdx,
qui devient, en effet, traitée de la même manière que la précédente,
I e^ sm axdx = — sm oa? 1 e^ cos axdx ,
et
/ e^ cos axdx:= — COs ax -] 1 e^ sm ax dx,
J m mj
L'élimination de Tintégralc auxiliaire entre ces deux égalités, donnera la valeur de la proposée, et Ton aura après réduction.
m sm ax — a cos ax
e"^^ sm axdx = e"** \- const..
cr + nv
— On trouverait de même.
a sm ax-^m cqs ax
e'^^ cos axdx = e»** : : — h const. .
INTÉGRATIOiN DES DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES 197
