Considérons enfin l'expression générale

sin^o: cos^ xdx .

l"" — Lorsque les exposants sont entiers^ il est toujours possible de ramener rintégraiion à celle d'une différentielle algébrique entière et rationnelle ^ dès qu'un des exposants est impair. Supposons que Ton ait, par exemple, m = 2;> + ly Pexpression se changera en

cos*a: s\v?^x sin xdx , On posera

d-où,

et comme

il s'ensuivra

donc

coBx=st;, — ûïixdx^=dv y

sin X = vï"— côsTr ,

sin a? = (l — v^y î

sinva: = (l— «y, d'où résulte l'expression annoncée

dont on sait prendre l'intégrale.

Cette expression aurait été

«• (1 — v^)f dv

en posant sin x = v, si Ton avait eu « = 2jd-|-1, Tautre exposant étant pair.

2* — Quand les deux exposants sont pairSy et que Ton a, par exemple, n=2/?H-2, on arrive à

v^(i'^vy{l—v^fdv,

fonction rationnelle d'un radical du second degré, qui rentre dans les cas connus.

3*^ — Les exposants affectant des valeurs quelconques^ on ramènera encore Texpression proposée, qui revient à

sin "•a; cos*-» x cos x dx ,

à une différentielle binôme en posant sin a:=t>, et j'on obtiendra

«"*(1 — t;*) 1 dv.

On a vu (I7l-I7e) comment on trouve son intégrale.

1*78. ~ JMtérwktMleB des foaetions oiroulaires inTeraaa.

Les intégrales des fonctions circulaires inverses s'obtiennent par le procédé dintégrcUion par parties (l'^S).

1« — Soit d'abord

arc sinordo;; on trouve en suivant ce procédé j et d'après ce que Ton a vu (163),

//• xdx arc sin xdx = arc sin x.a: — / ,

= a:arc sînz+V* — ar* + const..

— De méme^

/r —xdx dLrccosxdx = SiXCCOSx,x — / -=:= J y/i-x*

2* — Il vient pour

=a:arc cos x — yï—x* + const..

arc tang x dx ,

/r X dx 1 r 2xdx

dite \BLngxdx=wrc tang x.x — 1 -^=0? arc tang ar — - /

= X arc tang x — - log' (1 — :r*) + const..

— On obtient ésralement

arc cot xdx== arc cot x

— xdx

— xda

X arc cot

= X arc cot a: 4- - log' (1 + a:*) + consL.

3* — Considérons en dernier lieu l'expression

x^dx arc sin a?;

il viendra» en appliquant encore le même procédé (l^S),

hNTËGRATION DES DIFFERENTIELLES ORDINAIRES 199

/a*»+* i r dx

on sait trouver cette dernière intégrale ; la différentielle

, dx^af^'H—x") *dx,

Vl — X*

n'est, du reste, qu'un cas particulier des différentielles binômes (169-173).