IKTtORATION PAR DÊTELOPPEMElfT EN SfiRIE
179. — Lorsqu'on ne peut obtenir l'intégrale d'une fonction donnée, par aucun des moyens que nous avons examinés, on cherche à la développer en série^ puis on intègre séparément chaque terme ; il faut pour cela que la série soit convergente (Séries 3).
Gela posé^ soit proposé d'intégrer la fonction différentielle
f{x)dx.
On pourra développer / {x) par la formule de Maclaurin (67), et obtenir par là, une série convergente ^ si cette fonction et toutes ses dérivées successives conservent des valeurs finies ^ dans toute l'étendue des variations de x (54). Supposons qu'il en soit ainsi, il viendra
En multipliant par dx les deux membres, et en intégrant entre i les limites et x on aura, en remarquant que l'intégrale s'annule pour x=0 (1-41),
+ + r ^ndx.
Celte nouvelle série est cortvergente entre les mêmes limites que
la première ; car, si k est la plus grande valeur de R « entre et a:, on aura
Rndx<zl kdx ou <*a:, «/
quantité qui tend vers zéro, puisque x est fini et que k tend vers zéro, quand n augmente indéfiniment.
Les termes de la série tendant vers zéro à mesure qu'on s'éloigne, on comprend que Ton puisse arriver à telle approximation que l'on voudra, en prenant un nombre de termes suffisant, et d'autant moins grand que cette série converge plus rapidement.
180. — * Proposons-nous d'intégrer l'expression différentielle
dx
ou mieux, de trouver le développement de
log'(l+ar), puisqu'on sait (l46) que
dx
= Iog'(l+a:).
Le développement en série de ■ '■■ par la formule du bifiâme
(66.2), x étant supposé = 1 ou < 1, sera
en multipliant les deux membres par dx^ et en intégrant de à a;, on aura (63)
* dx X* x^ x^
——=log'(l+z)== a: -- + - — -+ + const..
ol -f-x 2 4
Pour trouver la constante on fera dans cette dernière relation a?=0 ; elle deviendra
log'l ou = C.
Donc
INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES JOi
x^ x^ x^ log'(l+a:)=j: — ^-t--— j+
