l'onotione circulaires : direote^ inveree* — Les fonc
lions circulaires sont celles qui renferment les rapports, ou expressions trigonométriques des angles ou des arcs. Elles sont dénommées simplement fonctions circulaires^ lorsqu'elles sont composées des simples rapports trigonométriques. Ces fonctions sont :
î/ = sin or, y = cos a:, y = tang x, y = cot x.
On les appelle fonctions circulaires inverses^ quand ces rapports trigonométriques s'allient avec les arcs qu'elles déterminent. Elles peuvent être représentées comme suit :
y=arc (sinx), y==arc(cos x)^ y= arc (tang a?), y =arc (cotar).
La première indique que y est Tare dont le sinus est x ; elle peut s'écrire inversement
X = sin y,
sachant que y est exprimé en degrés.
Remarque. — Les deux autres lignes trigonométriques, sécante et cosécante. interviennent rarement dans les calculs d'analvse.
9. — Ziimite. — Infiniment petits. — La limite d'une quantité variable est une quantité fixe telle, que la différence entre ces deux quantités puisse devenir et rester moindre que toute quofitité donnée. On démontre que lorsque deux quantités sont constamment égales j elles ont des limites égales ou même limite ; ce qui parait évident puisque ces limites s'appliquent, en quelque sorte, à une même quantité.
La considération des limites et les principes qui en découlent, ont conduit les géomètres à la méthode des limites, qui consiste à considérer les quantités dont on veut découvrir la relation, comme limites de quantités plus simples ; on cherche et l'on trouve plus facilement la relation de ces dernières, dans laquelle on substitue à toutes les variables, leurs limites respectives. C'est ainsi que dans la recherche du rapport i: entre la circonférence et le diamètre, on inscrit et Ton circonscrit à la circonférence, des polygones d'un nombre de côtés de plus en plus grand ; puis, on considère la circonférence comme la limite vers laquelle tendent les périmètres des deux polygones, lorsque le nombre des côtés augmente de plus en plus, et qu'ils deviennent par conséquent de plus en plus petits.
Ces côtés tendant vers zéro, on les appelle des infiniment petits^ quand on les considère dans un état infiniment voisin de leur limite. La circonférence est la limite de cette somme d'infiniment petits.
10. — I>iver8 ordres d'infiniment petits. — Lorsqu'une question comporte plusieurs infiniment pdtits, qui peuvent être considérés comme fonctions de Tun d'entre eux^ ce dernier est appelé infiniment petit principal.
On appelle infiniment petit du premier ordre, celui p dont le rapport à Finfinimént petit principal a, donne une limite finie k,
de telle manière que l'on ait - = fe. On voit qu'il peut être repré-
sente par p = A a. Un infiniment petit est du second ordre, quand son rapport à Tinfiniment {)etit principal, est un infiniment petit du
premier ordre, et que l'on a - = A: a, ce qui donne p = /;a'. En
• oc
général, on appelle infiniment petit de tordre n, celui dont le rapport à l'infiniment petit principal est un infiniment polit de l'ordre
(n — 1), et pour lequel on a - = A: a*"S d'où p = fcx*.
11. — Principes sur les infiniment petits. — La somme d'un nombre déterminé d'infiniment petits du même ordre, donne elle-même un infiniment petit du même ordre. Soient donnés les
infiniment petits A a*, A, a*, Â^a* A;„a*, leur somme sera
(A -f- &, + K + *«) «*' ^^^^ représentant par K la somme entre
parenthèses du nombre déterminé de quantités finies, on obtiendra Ka^ un infiniment petit de l'ordre n.
— La di/ftirence {k — k^) a* de deux infiniment petits Aa* et A, a», est aussi un infiniment petit du mémo ordre.
— E7i multipliant un infiniment petit A a* par un nombre fini A, on obtient encore Aft a", produit d'un facteur fini A k par a*^, et par suite, un infiniment petit du même ordre.
— Le rapport — de deux infiniment petits k a* et /e, a* du mê-
me ordre, donne généralement un nombre fini; mais dans quelques cas particuliers, il peut prendre les valeurs zéro ou l'infini.
— On peut \toujoun négliger un infiniment petit ot, à cAté d'une quantité finie a ; car si l'on avait tf + «> <^ infiniment petit tendant vers zéro, il ne resterait à la limite que la quantité finie a. De même, un infiniment petit hi ol^ peut aussi être négligé^ à côté d'un infiniment petit d'un ordre inférieur Àk^'^S puisque dans cette somme â*"^ [k-^-k^ a), le terme k^ a, un infiniment petit, est tout à bit négligeable !i côté de la quantité finie k.
18. — Variation des fonctions. — 9V>notions : croissante, décroissante. — Étant donnée une fonction
de deux variables x et t/, si l'on donne à la variable indépendante Xy un accroissement A x {delta ou différence x), il faut pour que l'égalité subsiste encore, que y prenne un accroissement correspondant A y, positif ou négatif; la fonction sera, dès lors, croissante ou
décroissante selon le cas, et Ton aura
y+ Ay==/(a:+ Ax);
ce qui donne, en retranchant la première égalité de la dernière,
\y=f{x + tix)-f{x). (2)
13. — IMflÔrences. — Différentielles. — l'onction continue. — Les accroissements ci-dessus, A 0? et A. y sont appelés différences\ mais si l'on prend A a: assez petit pour que A y soit moindre que toute quantité donnée, sans cependant être égal à zéro, les différences seront appelées différentielles ; elles seront représentées à la place de A, par la nouvelle caractéristique dy de telle sorte que Hx devenant infiniment petit, deviendra dx, et la relation (2) qui précède
s^écrira :
dy = f{x + dx) — f{x). {\)
Dans ce cas, la fonction (i8.4) est dite continue. Nous aurons à considérer dans tout ce qui va suivre, ces sortes de fonctions.
On voit par la relation (1;^ que la différentielle ày de la fonction y, est r accroissement qu'a éprouvé cette fonction (11^ A) après (woir ajouté àxsa différentielle d x.
14. — IV>nction dérivée. — Si l'on divise par A x les deux membres de l'équation (18.2), on obtient
PRINCIPES DE DIFFËRENTIATION
Ay f(^ + ^x) — f{x)
en faisant tendre dans cette expression A x vers zéro, A y tendra de même vers zéro, et Ton aura à la limite
Aar Ax
Ay mais le rapport-— conservera, comme on le verra plus loin (ie-l7),
une limite déterminée. Cette limite, qui est encore une fonction de Xy est appelée /oncrion dérivée ou simplement dérivée, parce qu'elle découle ou dérive de / (x) ; on la représente par l'une des notations
% ri-) ou r/.
U. ~ PRINCIPES DE DffFÉRENTIATION.
15. — La relation (l'A. 2) montre que la dérivée dune fonction est la limite vers laquelle tend le rapport, entre V accroissement de la fonction considérée, et F accroissement de la variable ; elle indi* que que pour obtenir cette dérivée il faut, après avoir changé x en X -f- A X dans la fonction f (x) , retrancher f (x) de la fonction obtenue f (x + A x), puis diviser ce reste par A x, c/ chercher la limite vers laquelle tend le quotient, A x tendant vers zéro.
U faut observer que la forme de l'expression (14.2), admettra généralement, en dehors du rapport déterminé formant la dérivée, un terme contenant comme facteur l'accroissement de x^ quantité très petite. Si on le représente par t, on aura d'une manière générale,
f*=rw + .; (•)
or, s'il s'^it de différentielles pour lesquelles les accroissements sont infiniment petits, le terme e pourra être négligé (il) à côté de la quantité finie f (x), et l'on aura :
dérivée
différentielle dy = f (x) dx. (3)
— Si Ton avait à prendre la dérivée de x par rapport à y, en considérant celle-ci comme variable indépendante, on obtiendrait
dx , 1
— On voit par les relations (2) et (3), que la dérivée d^une fonction est égale au rapport de sa différentielle à la différentielle de la variable ; et d'autre part, que la différentielle d'wie fonction est égale au produit de m dérivée^ par la différentielle de la variable.
Remarque. — Lorsque la dérivée est représentée par—, on la
dx
désigne souvent sous le nom de coëfficierU différentiel.
16.-- Interprétation géoxnôtrique des dérivées. — On sait que toute fonction de deux variables peut être représentée graphiquement, en la rapportant à un système de coordonnées qui donnent, pour chaque point de la ligne obtenue, les valeurs simultanées des variables ; ces points ayant été déterminés en attribuant à la variable x différentes valeurs, que Ton porte en abscisses, et en déduisant de la fonction les valeurs correspondantes de y, que Ton porte en ordonnées.
Cela posé, soit l'équation du premier degré
Îf = «ar-f6, (1)
qui représente une droite. ( Voir ana- It/t.)
Considérons un point quelconque M pour lequel on a ar = P et t/ = P M. Donnons à la variable indépendante Xj un accroissement très petit P P' = a, la fonction y ou M P deviendra
PRINCIPES DE DIFFÉRENTIATION
en retranchant la première égalité (1) de la dernière (2), on obtiendra (l3.1)raccroissement ou lac/i^<)ir«n/t>//6 de la fonction ; c'està-dire,
NM' = yi — y = a (a: + a) -f ô — (ao? + 6) = aa. (3) Ia dérivée se déduira de la diiférenticlle (3), et sera (16)
ax oc
Ou voit qu'elle est égale au coefficient angulairt^ et par consé-
dy quent — est un rapport bien déterminé, indépendant de l'accrois-
sèment des variables. L'équation (3) montre aussi, que la différentielle NM' sevBL positive comme dans la (Fig. 1), ou négativel^g. 2), selon que le coefficient angulaire a sera lui-même positif ou négatif. A la première correspond une fonction croissante jk la deuxième, une fonction décroissante. U sera démontré plus loin (69), que cette propriété existe pour toutes les fonctions.
