Considérons en second lieu une fonction

représentée géométriquement par la courbe A B (Fig. 3).

Si l'on prend sur cette courbe deux points M et M^ très rapprochés, ayant pour coordonnées x^y elœ^y y^, — ce qui revient à donner & la variable indépendante x^ un accroissement P P' entraînant un' accroissement NM' de la fonction y — , on obtiendra le rapport '^'

NM' y y

— ^, = ?^ — ^; et si l'on mène la sécante MM', on remarquera

que ce rapport est égal à la tangente trigonomélrique de l'angle a, qu'elle forme avec l'axe des a?. Nous voyons en passant, que l'accroissement N M' est ici positif, et que la fonction est croissante dans rintervalle considéré.

On sait, d'ailleurs, qu'une tangente en un point d'une courbe.

iO CALCUL DIFFÉRENTIEL

est la limite des positions successives que prend une sécante passant par ce points et par un autre point très rapproché situé aussi sur la courbe, lorsqu*on la fait tourner de manière à ce que ce dernier point se rapproche indéfiniment du premier. Supposons donc que le point M' se rapproche du point M, jusqu'à ce qu'ils deviennent infiniment voisins ; la sécante deviendra une tangente

à la courbe, et le rapport ^ ^ deviendra — , c'est-à-dire, la

dérivée de la fonction ; il ne cessera pas, toutefois, d'être égal à la tangente trigonométrique de l'angle formé avec Taxe des x.

D'où il résuite que la limite du rapport des accroissements simul*tanés d'une fonction et de sa variable, ou autrement dit, la dérivée de cette fonction, est encore égale au coefficient d inclinaison de la tangente à la courbe.

— Cette manière d'envisager la tangente, si féconde en résultats, a conduit les géomètres à étudier les variations infiniment petites des fonctions, ou à chercher leurs dérivées et partant leurs différentielles. La recherche des différentielles et les calculs qu'il faut faire pour les obtenir^ constituent robjet principal du calcul différentiels

1. — DÊRIVfiES ET DIFFfiRENTIELLfiS DES FONCTIONS FONDAMENTALES.

— La règle établie (15), sert à trouver directement les dérivées des trois fonctions fondamentales

a:"*, log X et sin x, 18. — I>ériTrée et différentielle de la fonction

Pour trouver cette dérivée, il y a lieu de distinguer plusieurs cas :

l"" — L'exposant m peut être entier et positif. En changeant œ en a: -f- A a: , ce qui entraine le changement de y en y -}- Hy^ il viendra

y + ^y = {x + Aa:)«;

développant le deuxième membre suivant les règles du binôme de Newton, on aura

PRINCIPES DE DIFFËRENTIATION 11

m (m — 1) ^ y-|-Ay = a:* + m a?*~' Ao: -| —— — r x^-* A or

Retranchant la première égalité de la dernière, et divisant les deux membres par A a:, on obtiendra

— =m a:»*"* A jc*— ' A x + ■ flg*'~^Aar*

Ax 1.2 1.2.3

expression dont tous les termes du second membre, sauf le premier, contiennent le facteur A x affecté de puissances croissantes, et peuvent être négligés (il), leur somme tendant vers zéro, si l'on suppose que A x devient un infiniment petit ; d<(

Ay plus, le rapport — - deviendra dans ce cas égal à la dérivée, et l'on

aura

d'où, dy = maf^^dx.

Ce qui indique que pour obtenir la dérivée dune fonction y =x^j il faut multiplier la variable x par F exposant m, et diminuer cet exposant d'une unité ; pour différentier la fonction ou pour passer à la différentielle j il suffit de multiplier la dérivée par dx, différentielle de la variable.

Exemples.

dy Pour y = ar*, on a --^ = y' = 4 a:' et dy=^kx^dx.

dx

y= x\ y' = 7a;' dy = 7a:' dx.

y = ar, y'=ra:»=l dy=:dx.

2* — Cas où r exposant de x est fractionnaire. Si l'exposant de x est fractionnaire et que l'on ait la fonction

y~xn,

m ein étant deux nombres entiers, en élevant les deux membres à la puissance n, on aura

Ces deux fonctions de variables étant constamment égales^ leurs accroissements infiniment petits simultanés, ou leurs difTércntielIcs seront aussi égales (9), et il viendra

d'où,

et comme on a

n 2/*-* dy = m ar»-* d x,

dy ma?***""* dx n y*"~* '

a:*-* = — et y*""* = — ,

il en résulte

or, puisque

et

dy m af^y dx n xy* '

— = 1 et que y=zxi ,

dy m ;!

dx n '

ay = — am a a;.

Ce qui conduit à la même règle que ci-dessus (IS.I»). — Cette règle est encore applicable aux radicaux. Soit en parti culier le radical du second degré

y = yjx\ comme y^x = xl, la question revient à chercher la dérivée de

y = xî

qui est, d'après ce qui précède,

dy 1 1-1 1

dx 2 2^i'

d'où il vient

PRINCIPES DE DIFFÉRENTIATION 13

dx

Ce résultat montre que la différentielle dun radical du second degré ^ est égale à la différentielle de la quantité placée sous le radical, divisée par deux fois ce radical.

Exemples. — Pour y = x\ on a y' = -a;" et dy = - x" dx.

mais a » = -7,=3-; donc y ==^3— et dy^-jr^.

xi Vx ^ ylx ^ yjx

3" — Cas où t exposant est négatif. L'exposant de x peut être en troisième lieu négatif, et Ton peut avoir

y = ar-«».

On en déduit

En appliquant à cette fonction le principe établi (15), il viendra successivement

retranchant la fonction (2) de (1),

Ay

-. = [(jr + Aa:)« — x«],

et en divisant par A a?,

Aar y' + yAy ~ Ax

En faisant tendre A x vers zéro, les différences tendront vers les différentielles (13), la quantité yAy deviendra négligeable

à côté de y* (iCS), et le second membre deviendra égal à moins la dérivée de x"* (IS.I"), de sorte que Ton aura

comme la relation (1) fournit y" = —, on aura en remplaçant y'

par cette valeur^ que Ton fera passer dans le second membre ,

dy

ax ar**

et par suite,

rf y = — wm::-*-* d x.

Ce qui indique que la règle exposée pour le premier cas s'applique aux deux autres. On voit aussi que pour m négatif , la dérivée y' y et par suite la différentielle dy sont négatives \ ce qui devait être (le).

Exemples.

Pour 1/ = xr^, on a i/' = — 2a:-^ = : et rfy = xdx.

•F ty XX

-î , 3 ^î 3 1^ 3 rfr

__y=x«, y=-g^ 3=---^rfy-=-g-r

1 dx y = xr\ y' = — ar-2 = dy = j.

le. — I>érivé6 «t dUrèrentielle d« la fonction

y = logX. (1)

En faisant croître d'après la règle (15), a; de A â:, y croîtra de A y, et l'on aura

y +Ay = log(a: + Aa?);

retranchant la première égalité de la seconde, il viendra

Ay = log(a: + Aa:) — loga;=logiX--f = log(lH V

et en divisant par A Xj

PRINCIPES DE DIFFËRENTIATION 15

Ay ^\ ' a? / (2)

Au lieu de faire tendre immédiatement A x vers zéro, il convient, pour éviter la forme - de Findéterminatiafij de poser

Hx ==— , m

et de faire croître m indéfiniment, après avoir fait dans le second membre de l'expression (2), la substitution indiquée par cette dernière égalité ; on trouve ainsi

Ax « x \ m/ flc •

m et à la limite, m tendant vers Tinfini,

4, , "»(' + iï

-i = hm •

dx x

Or, on sait (Séries 7-8) que la limite de ( 1 -| — ) est représentée

par e, et qu'elle est égale à 2,718281828 , base des logarithmes

népériens ; il viendra donc

dy logg 0,43429448...

dx X X

et

lorsque le logarithme est pris dans un système quelconque ; mais pour les logarithmes fiépériefUj comme log '^ = 1 , on aurait

dx A cause de cela, Texpression — porte le nom de différentielle

logarithmique de x.