Supposons que Von donne Texpression différentielle
dx
yH—x" On sait (145) que
/ dx
arc sm x .
On obtiendra donc par le développement de Texpression proposée, celui de l'arc en fonction du sinus x ; d'ailleurs, pour x compris entre + 1 et — 1 on trouvera par la formule du binôme (66.2), la série convergente
= (1 — ar")— =1+- ^ M-;r7^* + rT^a?* +
^VZr^ ' ' 2 2.4 ■ 2.4.6
En multipliant par d x, et en intégrant de à or, on aura
dx . 1 , 1.3 . 1.3.5 , = arc smx=x ]■■ ^ x*H- ^ . .. Jr 4- ^ . .. *
sans constante, car la supposition de a:=0 donne C = 0. — Si x=l on aura
arc sm 1 = - ,
et par suite, la série deviendra
183. — On trouverait pour le développement de farc en fonction de sa tangente, d*abord, en développant
par la formule du binôme (66.2) et supposant a: < 1, la série
- = (H-ar*)-* = l — x»H-ar*— ^•+ ;
puis^ en multipliant par dx et en intégrant de à .r,
dx x^ x' z^
l-f-ar* ^ 3 5 7
encore sans constante, puisque si Ton suppose a;=:0, on a (] = 0.
— Quand on fait dans cette série x = l^ on trouve
arctangl=-=l — -+g — ;j+ (2)
— Mais si Ton avait x>i/\\ faudrait effectuer le développement de -j par rapport aux puissances croissantes de - , et Ton aurait
ar'H-l x^ x^ x* a;' '
ou, en multipliant par dx et en intégrant ensuite^
arclangx=-i + l-.-.gi;+l; + C.
La constante se déterminera en remarquant que si Ton fait a; =00, le premier membre devient-, et tous les termes du deu-
x\hmQ s' annulent^ C deviendra égal à ^ et l'on aura par conséquent,
arclangx = |-i+^,lj + ;
en faisant x= 1 on retombe sur la même formule (2)
RsBfARQUES I. — Les formules (1) et (2) peuvent servir à calculer la valeur de tz ; mais il est préférable d'en déduire d'autres plus convergentes^ que Ton obtiendra par des relations-trigonométriques.
Cette remarque s'applique à toutes les intégrales qu'on ne peut obtenir rigoureusement ; il sera toujours avantageux de faire converger rapidement les séries, quand ce sera possible.
II. -^ On aurait pu montrer, de la même manière qu*on Ta fait
(179), que les intégrales des restes dont nous n'avons pas, d ailleuiSy tenu compte dans les séries qui précèdent, tendent vers zéro.
