CALCUL PAR APPROXIMATION DES INTÉGRALES DÉFINIES
184. — Lorsqu'on ne peut intégrer une fonction par aucun des mojreos connus, quand elle est donnée par utie courbe seulement, ou mènM» par des coordonnées qui sont le résultat de fobservation^ il est toujours possible d'obtenir une valeur, sinon rigoureuse, du
moins assez approchée de l'intégrale, par la métliode suivante :
Soit proposé d'évaluer Taire comprise entre' la
courbe, ABC, et les deux ordonnées extrêmes y^ et
.av-4 j y«> dont la première y^ est prise pour Taxe des y ;
pj ' • Iq — » yi étant Pordoaoée équidistante, de telle sorte que «■^J"^"^ OP = PQ (Fig. 31). La courbe ABC étant conti-
Via ^1 o /
^' * nue, elle pourra être remplacée sans erreur sensible, par une autre courbe dont on connaît l'équation, passant par les trois points A, B, C.
Prenons, par exemple, une parabole ayant son axe parallèle à Oy; son équation sera de la forme
et comme elle doit être vérifiée par chacun des trois points donnés, elle le sera par le point A auquel correspond a;=0, d'où Ton déduit yo = a ; on aura donc
y—yo + bx + cœ\ (2)
De même les points B et C^ pour lesquels les coordonnées respectives sont
yi et 2"' y»et^«i
donneront
bxi coi
ou
INTÉGRATIOiN DES DIFFÉRENTIELLES OKDINAfRBS 205
iyt = iVo + 2bx,+cxl, (3)
et
y«=yo + *ar, + c^J, (4)
équations qui déterminent b etc. . -
D'ailleurs, l'aire de chaque élément est j/dx (139), et Taire totale ou la somme iniégrale des éléments est
ydx ;
représentons-la par U, on aura en vertu de la relation (2), et en prenant l'intégrale depuis jusqu^àâ^i,
ydx= l (yo + *^ + ^^') d^ y
bx\ cxl / ôx, cx\\
sans constante
On pourrait trouver les facteurs constants d et c par les formules (3) et (4), et les remplacer ensuite dans l'expression (5); mais il sera plus simple de faire la somme des relations (3) et (4), d'ajouter après à chaque membre y^ , ce qui donne
/ bx. cxl\
ou
, àxt cvi y» + 4y, + y,
Xg
puis, de représenter OP = PQ=-jr par A; on pourra dès lors, substituer à l'expression (5), la suivante,
186. — Vcrmvim ôm Thomas Simpson. — Proposons-nous de calculer maintenant Faire U d^une courbe quelconqw, comprise
entre les ordonnées extrêmes OA et RD (Fig. 32). Divisons pour cela, la distance qui sépare ces ordonnées en un nombre pair de parties égales, et désignons chaque partie par h. Menons aussi, par chaque point ainsi déterminé, les ordonnées y^j yi, y,, y», et soient t/,, u^y u^y n«, les
surfaces respectives des différents trapèzes curvilignes, limités successivement à partir de l'ordonnée yof^iV les suivantes, ^i, y^, .... y*. On aura par la formule (6) du numéro précédent,
Fig. 32.
«'i=3(yo+4yi+yf), Wa=j^(yi+4y»+yt),
"ii=3(y*-«+*y»-i+yi»)-
Faisant la somme de toutes ces égalités, on obtient pour Taire totale,
U = - [yo+y«+4(yi+y, +yi-i) +2 {y,-hy, + y^-,)]. . (l)
Cette expression est connue sous le nom de fonnule de Thomas Simpson. Elle indique que l'aire de la courbe considérée, esi égale au produit du tiers de la distance qui sépare deux ordonnées eonsécutives, par la somme des ordonnées extrêmes, plus quatre fois la somme des ordonnées d'indice impair , plus deux fois la somme des ordonfiées d'indice pair.
Remarques I. — La manière dont la formule (1) a été obtenue, montre que les résultats auxquels elle conduit sont d'autant plus près de la vraie surface, que les divisions ont été prises plus rapprochées. Si la courbe présentait des points singuliers il faudrait, on le comprend, mener des ordonnées par chacun de ces points, el évaltier séparément les aires partielles.
APPLICATIONS DO CALCUL INTÉGRAL î07
II. — Cette formule s'applique à toutes les intégrales définies, car toute fonction continue peut représenter l'ordonnée d'une courbe , et Ton sait (l'AO) que son intégrale exprime l'aire de cette courbe.
