Cherchons par exemple

uvdx .

Nous diviserons Tintervalle compris entre les limites x^^ et Xn de Tinlégrale, en un nombre pair n de parties égales. Nous détermine^ rons pour les w+l valeurs de or, les valeurs correspondantes des ordonnées y, c'est-à-dire du produit uv des variables dont chacune est fonction de x ; ce qui revient à poser

y — UV, yo=t/ot^o> yi=Wi«, , y^=iUnVn,

et

— =zn .

L application de la formule de Thomas Simpson donnera / * y^=gj[yo+yn+4(y,+y3+ )+2(y,+y4-h....yn-«)J,

on, en substituant ,

/*« hr wre£ï:=- tioVo+i'ii t^n +4(111 «, + «,», + )

H- 2 (ttjtJ, + W4 «4+ ...... t/n-, t?» )J ,

sans constante.

i — REGTinCATION DES COURBES.

187. — Reotiflcation des courbôs planes. — Une courbe plane peut être considérée comme composée d'éléments qui se confondent avec leurs cordes, quand on les prend infiniment petits.

Ml ' CALCUL INTEGRAL

Mftti/iét une' eotirié, bu-chèrcher sa longueur eb unités linéaires, revient à faire la sommo de ces arcs élémentaires, ou k \esinteffrer. ■ On a w dans ta première partie, qu'en représ«ntant par ds ces arcs élémentaires infînimenl petits, ils oyaient pour cspression (S6 3)

. Par conséquent, si l'on représente par s la langueur cherchée .depuii un point dont l'abscisse est a, jusqu'à un autre ayant b pour «hscisse, on aura (139)

s= j ds= f dx\/i-hi/''; (2)

il suffira dans l'application, d'introduire dans cette formule la valeur de la dérivée y' en fonction de x, tirée de l'équation de la oourhe considérée.

188. — BeollBoatloii da l'elllpae. — Son équation, rapportée à des axes coordonnés rectangulaires passant par le cenlt'e, est

d'oii l'on tire

On aura donc, par la formule (3) du numéro précédent.

5= I dx\/i

lUlé SOQS le radical devient, en y faisant le demi-graDcl , en représentant par e' le carré de l'excentricité

ûi i. = 4— 6».

tifiant,

ue l'intégrale pourra s'écrire '

APPLICATIONS DU CALCUL INTÉGRAL tO»

dar ^i — e* a:*

Pour la trouver, il faut développer en série \é r^dicsA du numérateur par la formule du binôme (67.2), el l'on aura à intégrer une suite de termes de la forme

e^af^dx

que l'on traitera comme autant de différentielles binômes (1*7S).

Si Ton suppose que Tellipse est peu aplatie, la valeur de e sera très petite; on obtiendra, d'ailleurs, en supposant x = 1 , c'est-àdire pour le quart dn développement,

180* RectifLcation de la parabole. — L'équation de la para-' bole, quand l'origine des axes est au sommet^ étant

y' = 2px,

on en déduit

y'=^, dx^y.dy et y"=^].

n viendra en substituant dans la formule générale (187.2),

ou, en introduisant le facteur ~ sous le radical et en simplifiant.

l^osani

d'où,

on aura (164)

dy = pdv,

ilO CALCUL INTÉGRAL

I pdv\ftFTT=^nog'{v + ^

et en remplaçant v par sa valeur - ,

En prenant l'intégrale depuis jusqu*à y, elle s'annulera pour y=0 puisque la longueur se réduit au sommet à zéro. Or, dans cette supposition, la quantité enire parenthèses se réduit elle-même à zéro, donc la constante est 712///^ et Ton a en définitive,

5 = — lOg .

100. — Reotifloation de la ohainette. — L'équation de cette courbe est

Elle donne (87-33)

et la formule géDérale (187.2) deviendra

Par suite, en comptant les arcs à partir du sommet, origine des coordonnées où â?s=0, et en intégrant jusqu'à a?, on aura

la constante étant nulle^ car lorsqu'on fait x = l'expression entre parenthèses se réduit à zéro,