Kectlflcation des courbés À double courbure

L*expression d'un élément de ce genre de courbes a été déterminée dans la première partie; on a obtenu (109.3"^), en désignant par ds cet élément,

---s/iîhm

La longueur à trouver entre deux points qui ont pour ordonnées z=aeiz = b, résultera évidemment de la somme ou de riniéara^ tion de tous les éléments compris entre ces points, et Ton aura

De sorte que le problème revient à prendre dans les équations de

dx dy la courbe donnée, les dérivées -r , -t , -^s; étant considérée comme

dz dz

variable indépendante, — à les introduire sous le radical, et à

intégrer Texpression ainsi obtenue.

198. — Rectification de X'héUce. — Prenons Taxe de Thélice pour Taxe des c, faisons passer Taxe des x par l'origine de l'hélice et désignons par cd Tangle formé par la projection sur le plan xy des rayons r, aboutissant aux extrémités de l'arc considéré (Fig. 33);

Soient aussi p le pas de l'hélice, et oc l'angle constant que fait la tangente en un point quelconque avec le plan des xy.

On aura

tang a = ^ ,

et les équations de Thélice seront

x=rcosiù y y = r8in<i).

On en déduit

Fig. 33.

;3? =3 r tang a. A) .

2i2 CALCUL INTÉGRAL

££i;s=:r sin Wa> , rfy==rco8 wrfci) , dz=r iàXkg^dtù^

par suite,

dx — rsinfùdUù — «in ci> /*^\* sin* «

rfg r tang a rf« tang oc ' \<f^ . tang * a '

rfy cos G) /^^V— 52îl!î

rf2 ^ tang a ' • ^ \rfz/~lang*«'

La formule générale (191.2) donnera

Jo V V tang'a V. V »&"&'

d'où,

$ = s\/ i-H-const.,

V tftOg'« „ ,

et en remplaçant z par sa valeur (2),

s = r tang». w 1/ — \-i =r<«) v/i+tang'ac ,

y tang'ft *

sans constante^ car l*intégrale et Tare s'annulent pour «» = 0. Cette expression peut s'écrire, à cause de la relation (1) ,

et Ton trouve pour une spire entière^

résultat conforme à celui qu'on obtient par les moyens géométrie que^ élémentaires.