ReoUflcation des courbes en coordonnées polaires

— Oa sait que dans ce système de coordonnées, chaque point d'une courbe est déterminé par Tangle o) que fait une droite fixe (Xr appelée axe polaire, avec la droite qui joint ce point à un point fixe de T/axe piolaire, et par la longueur p de celte- droite que Ton désigne sous le nom de rayon vecteur.

SU

Cela posé, prenons sur la courbe AB (Fig. 34) deux points très

voisins M et M', dont les cciordonaées sontp , &> et Ap, Soù; joignons MM' et menons la corde de Tare PM décrit du point comme centre ; l'angle en P du triangle MMT peut être aussi voisin qu'on Je voudr^ de dO°, et Ton; aura!, -quand il sera infiniment rapproché de cette limite,

MM' = lim y/p«(A<d)* + (Ap)'.

Fig. 34.

Alors aussi, les deux points étant infiniment rapprochés, on pourra substituer à la corde MM', son arc qui n*en diffère que d'un infiniment petit du troisième ordre ; en le désignant par ds on obtiendra

,fe=y/p«(rfco)« + (rfp)«.

La longueur d une courbe donnée, à partir de (Oq jusqu à (o , sera par suite égale à la somme des éléments exprimés par la relation cidessus, et conséquemment

= f "^ ds=.( "yp»(rfo>)t + (rfp)«.