AIRE DES GOUREES PLANES

Les considérations développées au commencement de cette seconde . partie (l'^O), ont montré que taire tfune courbe

est une fonction de Tabscisse qui a pour dérivée Tordonnée de la courbe, et que Taire comprise entre deux ordonnées ayant a et 6 pour abscisses, est donnée par la formule

D= / f{x)dx^= I ydx\

ce qui ramène toute quadrature à une question d'intégration. Nous appliquerons cette formule à quelques exemples. 195. — Surtecas des triangles. — Avant de passer aux courbes planes considérons d*abord le triangle rectangle OBD (Fig. 36), t dans lequel le côté OB, une droite,

yi N. a pour équation

* ^^^ — as y=aa:; (*)

t. désignons par 6 et A les deux autres

côtés OD et BD. L'application de la formule précédente donnera, en mettant à la place de y sa valeur ax^ et en prenant l'intégrale depuis zéro jusqu'à b (l'49),

V=J ^axdx= — = Y. (2)

sans constante, parce que pour x=:0, Taire et l'intégrale étant nnlles, conduisent à = + C.

L*équation de la droite étant vérifiée pour tous ses points, donnera pour le point B,

h = aby d'oii, « = -;

et en remplaçant dans l'expression (2)^ on aura

— On conçoit que si Ton avait un triangle quelconque OBC, il faudrait faire la même opération pour le triangle rectangle BDG, et ajouter les résultats ; ce qui donnerait

OCXh ^- 2 •

196. — Surface du trapèze. — S'il s'agissait d'obtenir la surface du trapèze ABDE (Fig. 36), il faudrait intégrer l'expression ax dx (196. 2), depuis Tabscisse OE = b' correspondant à l'ordonnée EA= /t', jusqu'à OD, et l'on aurait (1-41)

sans cofistantCf puisqu'elle disparaît en prenant la différence. Or, l'équation (1) de la droite OB donne pour les points B et A,

A = aô , et h' = ab' ; on en déduit

A4-A' = a(é + Ô'), et. ô4-6'=i±^;

d'ailleurs,

il viendra donc pour l'expression de la surface,

Les valeurs obtenues (3) et (5) sont bien les mêmes que celles données par la géométrie élémentaire. H en est encore ainsi de Taire du cercle, que nous allons voir ci-aprës.

197. — Surfieuse du cercle. — L'équation du cercle (Fig. 37) étant

on en tire

Fig. 37.

OU (163), en posant

et en substituant dans l'équation générale des aires^ on obtient

x = rv, d'où, dx^=rdvy U = r r'rft?v/r'(l— t;') = r« f dvyji—v"

= •- |arc sin v-^-vyJi — »M , sans cofistofiie, car Taire et l'intégrale s'annulent pour v = 0. On

aura donc en remplaçant t; par sa valeur - ,

U=~arcsm- -[--Vr* — x^ .

En menant le rayon OM, il est facile de voir que là premièie* partie de cette somme exprime Vaire du secteur OAM, et la deuxième, la surface du triangle OMP.

Si Ton £ait a; = r on trouvera pour Taire du cadran U =-j-, et pour le cercle entier, wr'.

198. — AiM de l'elUpse. — L'équation de Tellipse (Fig. 37) est

d*où,

par conséquent,

U = - r dx)/a* — ar.

Or, si Ton considère un cercle dont le rayon soit égal au demigrand axe, de telle sorte que r = a, on aura sous le signe / la

même intégrale que pour lecercle. Par suite, le quart de la surface de Tellipse sera (197)

aT T'

soîis constante j et la surface entière,

Tzab.

Il en résulte qUe l'aire de l'ellipse comprise entre, deux ordonnées^ est

égale à Faire correspondante du cercle multipliée par le rapport - .

a 199. — Aire de lliyperlnle. — Lorsqu'on prend pour axes coordonnés les asymptotes do Thyperbole, Téquation de cette courbe est (Fig. 36) y

d'où.

Désignons par Tangle formé, par ces asymptotes ; on a vu {1^1 ) qu'il faut '^ ^ Fig. 38.

tto

première — , est située en dessous de Taxe des x, et elle est par m

suite négative.