Aire de la cydoide

(Fig. 41) sonf .

Les équations de cette courbe

et

a:=r(a — sina), y=r(l — cosa);

la première donne rfa: = r ( 1 — co s a) ^a .

D y a lieu de prendre l'aire depuis x = jusqu'à a: = 2icr ; la formule générale deviendra par conséquent,

/«TT (1 — coSflt^Va.

En développant le carré oh décomposera Tintégrale ci-dessos en trois intégrales partielles, et Ton aura

U=rM / rfa — 2 / cosarfa+l cos*arfa|;

mais (176), 1%-

/ c6sarfa = sinaic = 0,

/'^ , , iw + siniw cos'aaa= — -^ =w.

donc

U = r"(27r + ir) = 3wr%

ou trois fois l'aire du cercle générateur.

' 803. — Aire des ocrarbes en coordonnées polaires. — Soit à déterminer Taire du secteur BOM (Fig. 34), compris entre Tare BM de la conrbc, et les rayons vecteurs OB et OM aboutissant à ses

extrémités. Considérons pour cela le point M de Tare AB, et donnons à la variable (*> un accroissement Ao) ; il on résultera pour Taire considérée, raccroissemenl.AU = MOM'.

D'ailleurs, Taire du secteur circulaire OMP étant

on aura

4 Au)

AU>iAa>,

ou

AU

en faisant tendre Aco vers zéro, celte inégalité se transformera à la limite en égalité, et Ton aura

rfU

ou

rfU=i pV<. ;

et en intégrant depuis iii>o jusqu'à <a, il viendra

% fl

L'équation de la courbe proposée donnera la valeur de p en fonctioil de tt ; valeur que Ton wlroâmra dans Texpressidn ci-dessus avant de Tintégrer.

1^04. — Aire de 1» «plrale 'd*Ar«liiiiiède. — L'équation de cette courbe (Fig. 42) étant

Taire depuis o = jusqu'à o sera (803.i)

ce qui revient à

Fig. 42

Hî

1 p*CD

Cest-à-dire que Taire considérée esl le tiers du secteur circulaire de rayon p, ayant (a pour angle au centre.