AIRE DES SURFACES COURBES
d06. — Aire des snrteoee de révolution. — Soit AB (Fig. 43)
la méridienne d'une surface de révolution, et proposons-nous de déterminer la surface engendrée par cette courbe tournant autour de Taxe Ox. Si Ton considère un de ses éléments Wâ.\ sa corde engendrera pen dant la révolution la surface latérale d'un tronc de cône^ qui aura pour mesure w(MP+MT')MM'. (1)
Or, si le point M' se rapproche indéfiniment du point M» la corde tendra vers son arc, et à la limite ce dernier étant représenté par ds, la surface du tronc de cône pourra être substituée à la zone cfU, de la surface engendrée par l'arc MM". Si donc, on représente par y et y+ Ay les ordonnées MP et MT'^ on trouvera à la limite
rfU=TC(2yH-rfy)rfs;
ou, en négligeant dy par rapport à 2y, et en remplaçant ds par sa valeur ( 187.1),
rfU==2wydic>/l-f y'«. (3)
On obtiendra la surface totale en prenant la somme de tous les éléments, c'est-à-dire en intégrant l'expression ci^dessus. Si a et i sont les abscisses qui répondent aux extrémités A et B, on aura par conséquent
U=:t f rfU = 27r Ç ydxsji^y".
V équation delà génératrice par rapport aux coordonnées Oj: et Oy
fera connaître y e\.y\ que Ton introduira dans l'expression (4), puis on Fintégrera.
d06. ^ Aire de la sphère. — L'origine des axes étant au centre (Fig. 37) , l'équation du cercle est
On en déduit
et
ydxyli + y'^ = rdx ;
par suite, on aura par l'application de la formule (805.4),
\] = 2^j rdx = 2-r{b—a);
résultat conforme à celui obtenu dans la géométrie élémentaire.
En prenant l'intégrale entre les limites x=0 et x = r, ce qui donne Taire de la demi-sphëre, on trouve
U = 2xr« ;
soit pour la sphère entière^ 4?7r', ou quatre fois l'aire d'un grand cercle.
807. — Aire de l'ellipsoïde de rôvolntion. — L'équation do l'ellipse rapportée à ses axes (Fig. 37) est
flty» + i V = a*A' , (1)
qui fournit
L'élément de l'aire aura pour mesure (806.3)
2'Kydx ou
ni CALCUL INTÉGRAL
En mettant pour y* sa^ valeur tirée deFéqualion (1) do la courbe, et réduisant il viendra
^vV«.-«V(a.-i-) ,„
D'ailleurs, Tellipse tournant autour de son grand axe 2a, on peut poser, e étant V excentricité^
il en résultera Tintégrale suivante,
U = 2tc - i dxsja^ — e^x^.
Pour intégrer on posera
d'où,
dx = - dv^ e
et Ton aura (163)
U=Shr- f-ay/i'^f^dv = 2%^ 1 dvy/l—v\ aj e ej
ab 1
U = 2w — X -(arc sint; + t;>/l — t?*) ,
sans constante, attendu que l'aire doit s'annuler pour a: = 0, et conséquemnient pour v = 0.
On aura en remplaçant v par sa valeur en x,
ab f . xe xe I x?e\
U = TC— larcsm 1 \ 1 -rr
En prenant la moitié "de Taire ;^, soit depuis x=0 jusqu'à x=a, il viendra
r^ab
U=^^ — (arc sin c + e y/i — ^') ;
ce qui donne pour rairè eniiêre.
APPLICATIONS DU CALCUL IxNTÉGRAL îtt5
ab I
U = 2:: — (arc sîn ^ -f- ^ ^1 — e*j .
— Si l'ellipse tourne autour du petit are, il.coavient de supposer a <; A, et Fou oblient
b' — a' = b'e\ d'où,
ce qui transforme l*expression (2) en
qui donne lieu à
eb '
ûtr=— ; dv, eb
on trouve après réduction,
2wa»
dvyJi + v^.
Donc, rintégrale est pour Taire entière (164),
U=-^ log' {v + yji -ft?*) + vVl + t;» +consl.,
ou, en substituant et simplifiant,
,, 2to* , b{\+e) ^ ,, e a
0O8. -" Aire du paraboloide de révolution. — L'équation de la courbe méridienne étant (Fig. 39)
on en déduit
et
dx i/o* + A' e' ar* ; et en posant
et en introduisant ces valeurs dans la formule générale (806.4), il viendra
\J = 2t: jt/dxt/ 1+^ = 27r jdx yjy^ +J9* ,
ou
\] = 2t:^P jdxyj2x + p.
2x-+'p = Vj
Posant
dv
on trouvera (l49),
V '*dv = Tzylp X - V' = - Wi» (2ar+j9)' + const. . (2)
En faisant j: = on aura aussi U = 0, et l'on obtiendra pour la constante,
Pour avoir la surface depuis le sommet qui répond à x = 0, jusqu'à Tabscisse x = a, il suffira de remplacer dans Tintégrale obtenue X par a , après avoir remplacé la constante par sa valeur (3) ; on aura enfin
