Aire d'une surface hélicoïdale. — Soit à déterminer

une portion de surface hélicoïdale, engendrée par une droite qui se meut le long d'un axe d'un cylindre, en faisant avec lui un angle droit, tandis qu'elle s'appuie constamment sur une hélice tracée sur ce cylindre.

Décomposons la surface considérée (Fig. 44) en éléments infiniment petits ; et pour cela, menons par Taxe deux plans infiniment voisins, qui la couperont suivant les deux génératrices Fig. 44» AC, BD, dont les projections forment les angles

COXf D'OC que nous appelerons 8, rfO. Puis, concevons que Ton

mène une infinité de cylindres ayant même axe Oz que le premier, et considérons-en deux de rayons r et dr. Ils couperont la surface suivant deux hélices NM, N'M' , ayant même pas h que Thélice donnée, tandis qu'ils se projetteront sur le plan xy^ suivant des cercles de même centre 0.

La petite surface hélicoïdale élémentaire projetée sur le plan xy, peut être considérée comme un rectmigle^ elle aura donc pour mesure dbrdr; et si <i> désigne Tangie formé par le plan tangent en M à l'élément considéré avec le plan xt/, cet élément que nous désignerons par dU, aura lui-même pour mesure

d^.rdr

COS (i>

D'ailleurs, le plan tangent en M contient la génératrice AG, et la droite MT tangente à l'hélice ; en menant par MA un plan horizontal, et dans ce plan, la droite MS perpendiculaire à MA, on aura

h TMS=<«). Mais on sait que cet angle a pour tangente -^ — , il \nendra

donc, sachant que