QUADRATURE DES AIRES COURBES QUELCONQUES
810. — Nous allofis déterminer Texpression plus générale, de l'aire d'une surface quelconque dont on connaît l'équation. Disons d'abord qu'on appelle aire d'une surface courbe, la limite des aires d'un polyèdre inscrit ou d*un polyèdre circonscrit, dont toutes les faces diminueraient indéKniment. D'une manière plus générale, quand la surface donnée au lieu d'être fermée se termine par une certaine ligne, son aire peut être considérée comme la limite de
APPLfCATlONS DU CALCUL INTEGRAL «Î9
l'aire discorilinue formée par les plans tangents, que Ton peut mener par des points infiniment voisins pris sur la surface. Ces plan» étant, du reste, limités de telle sorte, que la projection de cette surface discontinue sur un plan déterminé, soit constamment é^ale & celle de la surface sur le même plan ; c'est-à-dire que les projections des éléments plans ne se recouvrent pas, et ne laissent pas de vides entre elles.
Considérons une surface rapportée k trois axes rectangulaires, et dont l'équation est
^ = /{x,y). (IJ
Supposons que l'on ait tracé sur la surface une courbe limitant l'aire h évaluer ; soit ABC (Fig.
4S] la projection de cette courbe sur le plan xy, et
Fig. 45.
l'équation de cette projection.
Concevons que l'on mène des plans infiniment voisins, respectivement parallkles aux plana xs, zy\ on décomposera, de cette manière, la projection en une infinité àe petits rectangles, cl la surface considérée, en autant àe petits parallélogrammes, dont la projection formera exactement les rectangles, sans vides comme sans recouvrements. Cela posé, soit P Q Q'P ' un de ces rectangles auquel correspond le parallélogramme MNN'M', il a pour mesure cf^t^y. Désignons par (d l'angle formé par le plan tangent en M avec le plan xy, et par d\J, l'aire du parallélogramme situé sur ce plan, noua aurons
du cos itt = dx dy ,
i> a pour valeur (liBO)
par conséquent,
n est utile de démontrer que la somme de tous ces éléments de surface a bien une limite finie ; pour cela, remarquons que la surface qui a pour équation
/idzV /dzV
coupera Tordonnée considérée NQ en un certain point S^ et que, par suite, la mesure du parallélipipëde de base PP'Q'Q et de hauteur QS, sera précisément l'expression (5), ou Taire du parallélogramme M ; les autres éléments donneront lieu à la même remarque. Donc, la somme des parallélipipëdes ayant pour limite le volume compris entre la surface déterminée par les points S, le plan xyy et le cylindre qui a pour base la courbe ABC tracée sur le plan ory, — volume fini et déterminé, — il s'ensuit que la somme des parallélogrammes, ou, autrement, Faire de la portion de surface considérée, a elle-même une limite finie.
L'aire cherchée sera évidemment la somme de tous les éléments
dz dz expression dans laquelle on doit mettre pour — et — , leurs valeurs
OtUC Cvc/
tirées de Téquation (1) de la surface.*
Pour la calculer il convient de prendre d'abord la somme de tous les éléments compris entre deux plans KTL, K'T'L' parallèles à 2y, ce qui revient à considérer provisoirement x et dx comme cotistants, en considérant y seul comme variable ; on aura ainsi à prendre, entre les limites yo ^^ Vi^ l'intégrale de la relation
''flWi^ï^i^J
en observant que les valeurs y^ et yi sont des fonctions de x données
par réquation (2). En substituant dans le résultat obtenu, on aura donc une fonction de x qu'il faudra multiplier par dx^ et qui représentera l'expression de la portion de surface comprise entre deux plans parallèles à zx. Uintégrale de cette nouvelle expression, prise entre les limites Xo et x^^ donnera la surface cherchée, il viendra en définitive
-/i-z^Vdy-d)'
et l'on peut encore écrire
"=/:/> V(iv-(i)'
