CUBATURE DES SOLIDES TERMINES PAR DES SURFACES COURBES
SU.— Volumes terminés par des surftbces de révolution. —
Soit à évaluer le volume engendré par une courbe AB (Fig. 43) tournant autour de Taxe Ox, l'équation de la courbe étant
Considérons une tranche élémentaire déterminée par les plans MP, MT' perpendiculaires à l'axe de rotation Ox ; le volume engendré pendant la révolution du trapèze MPP'M' sera un tronc de cône ayant pour mesure, en désignant par R et r les rayons des deux bases et par h leur distance,
y(r'+R» + Rr). (2)
Mais si l'on suppose que le plan MT' se rapproche indéfiniment du plan MP, à la limite la corde MM' du trapèze se confondra avec la courbe, et l'on aura l'expression du volume dS d'une tranche infiniment mince. Cette expression sera, en remarquant quer = ^, que R deviendra y-i-dyeih^s^dx^
ou, en négligeant dy par rapport à y^ et en réduisant,
d\=T.y^dx, (3)
On obtiendra donc pour la somme do toutes les tranches élémentaires contenues dans le solide, ou pour le volume total compris entre les valeurs a et 6 de x,
= Tz I y*dx\
expression dans laquelle on aura à remplacer y par sa valeur en x, tirée de Téquation (1), avant d'intégrer.
818. — Volume de rellipsoïde de révolution. — En prenant le grand axe pour Taxe de révolution et pour celui des x^ la méridienne a pour équation
et en remplaçant y* par cette valeur dans Téquation (4), il viendra V='r j-(a^ — x^)dx = Tç( I b^dx ^ j x*dxj ,
ou
sans constante, attendu que le volume et l'intégrale s'annulent pour x = {S, On trouvera pour la moitié de Tellipsoïde, c'est-à-dire en prenant le volume entre les limites et a de x,
soit pour l'ellipsoïde entier,
— Lorsque la révolution s'efieclue autour du petit axe, on obtient pour volume
813. — Volume du paraboloide de révolution. — L'équation de la méridienne étant (Fig. 39)
on aura en substituant dans la formule (811. i),
\=t: I 2pxdx = 2'Kp j xdx = 'r:pa^ ^
ou
et Ton voit que ce volume est la moitié du cylindre qui aurait y pour rayon, et x pour hauteur.
81'4. — Volume de l'elllpsoide à trois axes inégaux. — Nous placerons Taxe longitudinal de lellipsoïde sur 0:r, de manière que les trois demi-axes soient respectivement OA = a, OB=ô, OC = c (Fig. 46), et que OABC soit le t
quart du volume à chercher. Menons ensuite deux plans très rapprochés MNP», M'N'P' parallèles au plan zy; Télémenl de volume qu'ils interceptent est inférieur au cylindre qui aurait pour base l'ellipse MNP, et pour hauteur la b distance PP' qui sépare les deux plans :
soit au produit de Taire MNP par PP' .
Mais si le plan M'N'P' se rapproche indéfiniment du plan MNP, l'ellipse qu'elle détermine tendra à devenir égale à la première, on aura à la limite PP' = dx, et pour l'expression du volume rfV de la tranche,
(/V= ellipse MNP X^. (1)
Désignons maintenant par u et U les surfaces des ellipses MNP, CBO ; on sait que ces ellipses sont semblables et qu'elles donnent
Fig. 40.
d'où,
Par suite
«=uiV (2)
dW = -z*dx; (3)
et comme l'équation de l'ellipse AC donne de son côté
a' on aura, en remplaçant dans (3) et en intégrant depuis — a jusqu'à
V = - / (a* — x*)rfa;=-,.-a» = -Ua;
czV -a a* 3 3
si Ton remarque (108) que U = wô(? il viendra,
— Cette formule, quand on y fait c== ô, conduit directement à la
valeur- waé* que nous avons trouvée (SIS), pour le volume de
l'ellipsoïde de révolution,
816. — Volume des corps terminés par des surteces courbes. — Supposons que la surface soit donnée par son équation, et nous reportant à la (Fig. 45), et aux considérations exposées (SlO), menons les mêmes plans infiniment rapprochés. Couderons l'élément parallélipipédique qui se projette en PP'Q'Q ; si z et Zo sont lés ordonnées des points extrêmes d'une arête, fc volume de cet élément sera
dx dy {z — z^ .
Le volume de la tranche formée par les plans parallèles au plan zy sera donné, en remplaçant dans cette expression z par ses limites tirées de Téquation de la surface, en laissant x constant y et en
prenaat entre les limites y eiy^ fintégrale par rapport à y, de la relation obtenue.
On remplacera ensuite dans le résultat trouvé, y par sa valeur en fonction de x, et l'on réalisera la somme de toutes les tranches parallèles à zij, en prenant une seconde intégrale depuis la plus petite jusqu'à la plus grande valeur de x. Ces diverses opérations sont indiquées par Fintégrale double
qui revient à
— On serait arrivé au même résultat, si, au lieu de considérer les éléments parallélipipédiques, on avait intégré directement les volumes élémentaires de chaque tranche, formée par des plans inAniment rapprochés, parallèles h. l'un des plans coordonnés.
— Le résultat serait encore le même, en décomposant le volume en éléments ayant (rois dimensions infiniment petites, par des plans parallèles aux trois plans coordonnés. On aurait dans ce cas, une intégrale triple.
/l I dxdydz
mais cette décomposition n'est employée que dans certains cas particuliers; par exemple, quand il s'agit de calculer le poids d'un corps dont la densité varie en chaque point. '
816. — OalatU d«s volumes par approximation. — Soit donné un solide de forme irrégulière (Fig. 47). Le volume d'un élément infiniment mince, sera égal au produit de la section de la tranche par dx ; ou, en représentant par u cette section,
et le volume total sera „. ,
V= f\dx.
Comme on ne connait pas ici <*> en fonction de x, on ne peut obtenir qii'approodmalivement cette intégrale, il faut avoir recours pour la calculer, à la formule de Thomas Simpson (lS6).
Pour cela, divisons là distance OA qui sépare les plans extrêmes, en un nombre pair de parties égales h ; menons des plans parallèles aux premiers par les poiots de division obtenus. Ils détermineront des sections dont on cherchera les aires. Supposons que «>«, 0)1, <os, <ùn soient ces aires, on aura
V= / <«>ûfe = - (i)o + G),j + 4(w,+6)3H- +«»,)
2(C0,+<Ù4+ -f-CO„^)J .
— On peut remarquer que dans Texemple choisi, la section <i> étant nulle on doit la supprimer en appliquant la formule.
