CENTRE DE GRAVITÉ
S 17. — On appelle moment d'une force par rapport à un plan, le produit de cette force par la distance de son point d'application au plan donné. Ce produit est considéré comme positifs lorsque la force tend à faire tourner dans un certain sens déterminé, la perpendiculaire abaissée du point d'application sur le plan des moments ; on le considère comme négatifs si la perpendiculaire tend à tourner en sens contraire.
Cette convention sert de base au théorème des moments^ que Ton démontre en mécanique, d*aprës lequel la somme algébrique des moments d'un système de forces parallèles, par rapport à un même ploHf est égale au moment de leur résultante par rapport à ce plan.
Lorsque les forces parallèles sont dues à Taction de la pesanteur ^ la résultante n'est autre que le poids du corps ; son point d'application, ou le centre des forces parallèles qui agissent sur chaque molécule^ est appelé centre de gravité.
Les corps que Ton a à considérer sont ordinairemèal homogènes ou supposés tels ; c'est-à-dire que les parties qui les composent, quelque petites qu'on les prenne^ ont des poids proportionnels à leurs volumes. Il en résulte que la position du centre de gravité devient indépendante de la nature de ces corps ; ce qui ramène la détermination de ces centres de gravité à une question de géométrie.
D'après le théorème des moments, tout système d'éléments géométriques {ligney surface ou volume)^ ayant un axe ou un plan de sf/métrie, aura son centre de gravité sur cet axe ou sur ce plan ; s'il a un centre de figure, son centre de gravité sera situé sur ce centre de figure. •
818. — Centre de gravité d'un aro de cercle. — Prenons des axes coordonnés passant par le centre de Tare, et faisons coïncider celui des x avec la perpendiculaire à la corde. Celle-ci étant un axe de symétrie contiendra le centre de gra- 5 vite, et il suffira de connaître l'abscisse OG = X q (Fig. 48).
Désignons par r le rayon, par c la corde et par a la longueur de Tare. Le moment d'un de ses éléments MM' par rapport à Oy, est MM' X CQ ; or, les triangles semblables OCD, MPM' donnent Fig. 48.
MM'Xa:=MPXr,
et à la limite,
xda = rdy. (1)
La somme de tous les moments élémentaires doit être, d'ailleurs, égale au moment aX et l'on aura à la limite
aX
ou, à cause de l'égalité (1),
d'où,
= / xda , = jrdy.
= ^il^.^^^^T
Si l'arc est de n degrés, il viendra
%Tn
on a aussi
d'où,
. n c sin -= -- , 2 2r'
c = 2rsm — ,
et en substituant dans la relation (2),
360 r sin ?
— On trouverait pour une demi^cir conférence,
dlO. — Centre de gra^irité des courbes. — i» — Soit d'abord une courbe plane AB (Fig. 49) ; son centre de gravité sera déterminé dès que Ton connaîtra ses deux coordonnées X et Y, par rapport aux axes situés dans son plan.
Désignons par s la longueur de la courbe ; le moment d'un de ses éléments MM' par rapport à Taxe des y, sera à la limite, cet élément devenant d$y
Fig. 49.
ds
ou
X'+-[X'^dx)
xds;
dx
car on peut négliger — à côté de x,
La somme de tous les moments élémentaires de la courbe, par rapport au même axe, sera / xds ; et Ton devra avoir en vertu du théorème des moments,
«X= I xck, d'où,
/ xds X=îl .
On trouverait de même par rapport à l'axe des y ,
sY=^Jyds, d'où,
fyds
Y=iL .
La courbe étanl donnée par son équation y=f{x)^ on aura (86.3)
ce qui donne
valeurs que l*on introduira dans les équations de X et de Y. 2o — Pour une courbe à double courbure
ar = F(5), y=/W,
rapportée à trois plans rectangulaires, le théorème des moments donnerait successivement pour chacun d'eux, en substituant à un élément de courbe infiniment petit, l'élément correspondant de la tangente.
sX
= I xds, tY=:^iydsj sZ=s j zds;
la longueur de l'élément serait ici (100.3)
Lorsqu'on ne pourra effectuer les intégrations, on aura recours à la formule de Thomas Simpson (186) pour les calculer.
