Centre de gravité d'un segment de parabole. — Le
Ui
centre de gravité se trouvant sur Taxe de symétrie pris pour axe des X, et l'équation de la parabole (Fig. 51) étant
il suffit de trouver l'abscisse OG=Xi. Considérons à cet effet* Télément mm' déterminé par deux droites infi* niment rapprochées, parallèles à Taxe des y ; il & pour surface
rfU = mm'.dx =^2t/dx ,
et son moment par rapport à Taxe des y est
xd\] = 2yxdx.
Le moment du segment parabolique, limité par la droite ÂB parallèle à Oy, sera par conséquent
UXj = / 2yxdx ;
ou, en mettant y/2px k la place de y,
2xdx \l2px = 2 yj2p I xldx = l^2p.X^ ,
sans constante, attendu qu'elle s'annule pour a: =3 0. On a en simplifiant,
et comme (dOO)
UX, = g*^2/?X.X» = -*YX",
il viendra
U = -YX.
'~5^4 YX~S
8d8. — Centre de gravité d'une aire plane terminée par deux courbes. — Les équations des courbes AB et A'B' étant Connues (Fig. S2), on suppose Taire divisée en une infinité de rectangles par des parallèles à l'axe des y ; Tun de ces rectangles
NMM'N' a pour base raccroissement infinimenl petit NN' ou dx de
l'abscisse, et pour hauteur, la différence MN des ordonnées MP et
1^ jfP NP ou y — y,. Sa surface est [y — y^dx\ tan-
^ dis que la distance de son centre de gravité
à l'axe Oy est ^+ — , ou plus simplement x^
en négligeant — à côté de a; ; la distance du
Fig. 52. même centre de gravité à Taxe des x est
y-f-yi ^
— T — . On aura par conséquent, en désignant par a et ô les abs-
cisses extrêmes,
et
UX= / x{y—y,)dx,
UY=y] (y y.)y±lLrfx=*- J* (y'-y.')^.
Laire de la courbe est d'ailleurs (130)
U=J^ {y — y,)dx.
fi83* — Oentre de gravité des surfaces de révolutioii. —
Prenons Oar (Fig. 49) pour l'axe de révolution, et soit à déterminer le centre de gravité de l'aire engendrée par la courbe génératrice AB, dont les extrémités ont pour abscisses a et b. Décomposons pour cela, la surface en zones infiniment petites, par des plans perpendiculaires à Taxe. Ces zones peuvent être considérées comme des surfaces tronc-coniques^ qui ont pour expression, en prenant par exemple l'élément MM' ou ds^
-|^2icy+2^(y+rfy)Jc&,
ou, en négligeant l'infiniment petit dy à côté de y,
^'Jiyds .
Les centres de gravité de la surface considérée tl, aussi bien que de cette zone élémetitaire, doivent se trouver sur Taxe Ox ; la dis-
APPLICATIONS MÉCANIQUKS 243
lance du premier centre de gravité à l'axo des y étant X, celle du second centre de gravité au même ase des y est l'abscisse du point M ou X, à un infiniment petit près ; il viendra donc, par le théorème des moments (817),
UX = 2w r xyds.
Mais on sait (SOS) que
U=:2n ( yds.
et que
d8 = dx<iji-i-y'*.
On obtiendra la distance cbercbée X, après avoir remplacé dans ces formules y et sa dérivée y" par leurs valeurs en x, et après avoir effectué l'intégration indiquée.
884. — Centre de graTlté de la sorfooe latérale d'an odne droit. — La droite génératrice OA (Fig. 53), passant par l'intersectioa des axes coordonnés, aura pour équation
y=ax, d'où, y' = a.
On trouvera d'après ce qui précède, en remarquant que l'élément MM' ou dh à une longueur exprimée par
et que le cône est limité par l'abscisse x=b, ^'8- ^-
axrfx^l+a' = îca^l+a'.i* ,
aSB. — Centre de gravité d'une sdne sphérique. — Le centre de la sphère étant à la rencontre des axes, on aura dans ce cas
i44 CALCUL INTÉGRAL
et
\r' — X par conséquent il viendra (Sd3),
, / X* rdx rd:
V r' — x" Jr' — x* y
puis
U=27: / rdx = 2T:r{b — a),
en limitant la zone aux abscisses a et b. Enfin, en remarquant que les triangles MPM', OCD (Fig. 48) donnent yds = rdx, on aura
UX = 27U / xyds = 2?: / xrdx = 2wr d'où,"
ce qui montre que le centre de gravité esl situé an milieu de la hauteur de ta zone.
8d6. — Centre de gravité d'une surface quelconque. —
Pour trouver le centre de gravité d'une surface
il faut la supposer décomposée en^éléments infiniment petits, par des plans infiniment voisins, perpendiculaires aux deux axes des x et des ?/, et substituer au moment de Télément de surface, le moment de l'élément correspondant du plan tangent au point considéré. Cet élément de surface a,dans celte hypothèse,pour expression (S 10)
La surface elle même est
APPLICATIONS MÉGANIQUES
D'ailleurs en prenant successivement les moments par rapport aux trois plans de coordonnées, qn aura
UX
xdV, UY
uz
zd\};
équations qui feront connaître les trois coordonnées du point cherché, en remplaçant dl] et z par leurs valeurs en x et y, et en effectuant les intégrations entre les limites indiquées.
CENTRE DE ORAVITÉ DBS SOLIDES.
. aa*?. «** 0«iitr« d« granité du tétraèdre. — Concevons que l'un des plans de projection passe par le point S pris pour sommet^ et soit parallèle à la base (Fig. S4). Supposons aussi la pyramide décomposée en tranches infiniment minces, par des plans parallèles à la base ; Tune de ces tranches mnm' de base 6, pent être considérée à la limite comme un prisme ; son volume sera
d\=bdy,
et son moment par rapport au plan Ox^
yd\ = ybdy. ^^
y ^ ^ Fig. 54.
De sorte que la somme des moments de tous ces éléments, ou le moment de la pyramide sera
ft
ib
ITr*'
YV
= / bydy.
On sait, du reste, que si B et H sont la base et la hauteur de la pyramide, on doit avoir
BH
et que
d'où,
f4ê CALCUL INTÉGRAL
En substituant dans (1), et en prenant Tintégrale entre les limites ys=0 et y e=H, on trouve
On en tire
résultat con/orme à celui obtenu par des considérations géométriques.
