Oentre de gravité des solides de révolution. — On

a vu (811) que le volume des éléments déterminés par des plans intiniment rapprochés, perpendiculaires à Taxe, avait pour expression

rfV = i^y^dx, et le volume total,

Le centre de gravité est, d'ailleurs, 5t^ti^ sur Taxe de symétrie, et Ton aura par le théorème des moments

VX = w / y^xdx.

Il faudra dans cette expression, remplacer y' par sa valeur en x tirée de l'équation de la courbe méridienne^ puis intégrer entre les limites a et 6, répondant à la plus grande et à la plus petite valeur de Tabscisse.

889. — Oentre de gravité d'un cône droit. — En appliquant les formules précédentes au cône (88^), dont la droite générairice (Fig. 53) a pour équation

y=ax, on obtiendra

V=w / y^dx=^i^a^ j x'^dx= ■ ■

APPLICATIONS MÉCANIQUES Ul

On aura aussi

Par suite,

830. — Oentre de gravité d'un segment splièrique. — Si le cercle générateur du segment sphérique a pour équation

il viendra successivement

y^dx='K I (r* — x^)dx = 'J^r* 1 dx — w 1 ar'dx,

OU

et

OU bien

VX=«[^(A«-a«)-J(ô»-a»)].

Ces relations feront connaître X, et par conséquent^ le centre de gravité cherché, car il se trouve sur Taxe.

^- S'il s'agissait d'une demi-sphère on aurait a=0, et 6 = r, de sorte qu'en remplaçant et en simplifiant, on arriverait à

831. — Oentre de gravité d'un paral>61oide de révolution. — Supposant que la courbe méridienne ait pour équation

y^ = 2px, on aura (888)

V = ir / y^dx = 2'îcp j xdx=^'KpX^,

J49 CALCUL INTÉGRAI*

d'où l'on déduit