Centre de gravité d'un prisme parabolique. — Ce
centre doit se trouver évidemment sur le plan parallèle aux deux bases, situé à égale distance de ces bases, parce que c*est un plan' de symétrie ; de plus il se trouva sur Taxe de la parabole qui limite ce plan (ddi), à une distance de Torigine marquée par
833. — Centre de gravité d'un corps terminé par une suv^, face quelconque. «» Le corps étant compris entrQ deux surfaces
z = F(a:,y), Zo = f{x,y), et les plans
on le suppose décomposé par des plans infiniment voisins, respectivement perpendiculaires aux deux aices Ox et Oy \ ce qui détermine des parallélipipèdes élémentaires ayant pour base dxdy^ et pour hauteur (^ *^4«} ; de sorte que le volume total est (815)
qui revient à
rx pf rt
relation obtenue en décomposant encore les parallélipipèdes élémentaires, par des plans infiniment rapprochés perpendiculaires & Taxe ÇSz, On aura respectivement pour les moments par rapport aux trois plans coordonnés, en prenant par exemple la première expression du volume.
APPLICATIOfiS MECANIQUES S4&
VX= / / (a— «,)xrfrrfy,
VY= J^ r {z-z,)dxydy,
Remàbques. I. — La décomposition doit ie faire ou élémenti dxdydzj quand les corps ne sont pas homogènes \ car en opérant comme cî-dessus, les prismes élémentaires (z — Zfi)dxdy^ présenteraient dan« ]q aens de leur hauteur (m •-« Je) dee poida apéeifiques différ^nU.
II. «-" Lorsque dans la détermination des tênires de praviié des surfaces planes {BB9), des surfaces courbes (886), ou des solides terminés par des surfaces quelconques (838)^ on na pourra effectuer les intégrations indiquées, ou que Ton ne connaîtra pas les équa* tions des lignes ou des surfaces qui les déterminent, on aura recours pour faire celte opération, à la formule de Thomas Simpson
(ISS).
884. — Théorème da G-nlOla, -«- Ce théorème comprend les deux propositions suivantes :
1® — L'aire de la surface engetulrée par une ligne plane ^ loumont autour d'un axe situé dans son plan y est égale au produit obtenu en multipliant la longueur de cette ligne génératrice ^ par la circonférence que décrit son centre de gravités
2" — Le volume engendré par une aire plane, toumaafit autour d'un axe tracé dans son plan^ e$t égal au produit de l'aire génératrice, par la circonférence que décrit son centre de gravité,
1®. — Pour démontrer la première proposition, reporlons-nous à la figure 49. On a trouvé pour Vaire de révolution (883),
u=ait
jyds. (1)
En désignant par Y Tordonnée du centre de gravité de la courbe méridienne, on a trouvé d'autre part (818), pour la somme de tous les moments élémentaires de la courbe par rapport à Taxe des or,
sY
= / yds.
ËQ substituant dans Téquation (1), il en résulte
U = 2wY5. (2)
n viendrait, par exemple j pour wi tore engendré par la révolution d'une circonférence de rayon r, dont le centre se trouve & une distance R de Taxe de révolution,
2^. — Considérons en second lieu, une aire plane quelconque tournant autour de Taxe Ox (Fig. 52), et supposons-la décomposée en éléments, par des plans infiniment rapprochas perpendiculaires à Taxe de rotation. Un de ces éléments de surface NMM'N' peut être considéré à la limite comme un rectangle ; il décrira pendant la révolution un anneau dont le volume aura pour expression,
rfV = w(y*— y,')(fe; de sorte que le volume total sera
y=^f{y'-yi*)dx. (3)
Mais on sait que, d'après le théorème des moments, on a aussi
d'où l'on conclut
V = U2irY; (4)
ce qui démontre la deuxième proposition.
Pour le cas particulier d*un tore placé dans les mêmes circonstances que ci-dessus, on obtiendrait
Remarque. — Si la révolution de la courbe ou de l'aire génératrice n était pas complète^ et si l'arc décrit était a, par exemple, la surface ou le volume engendré serait une fraction de Taire (2) ou du volume (4) exprimée par
APPLICATIONS MÉCANIQUES »i
Celte remarque trouve son application dans le calcul des déblais^ qui se rapporte à la construction d'un canal à section constante.
