MOMENTS DWBRTIE DES CORPS
d35. — On appelle puissance vive d'un point matériel, la moitié du produit de sa masse par le carré de sa vitesse, ou -mt)*;
par extension y la puissance vive d'un corps est la somme ^-mv^ ,
des produits analogues pour tous les points matériels qui le composent. S'il s'agit en particulier du mouvement de rotation^ la puissance vive d'un point matériel situé à une dislance r de Taxe, sera
-m (cor)', en désignant par co la vitesse angulaire, car v = <i) r, et
Ton aura pour l'expression de la puissance vive de tous les points matériels faisant partie du même système,
ou^ en mettant en dehors du signe 2, indiquant une somme, le facteur constant - w' ,
La somme ^mr^ des produits obtenus en multipliant la masse de chaque point matériel du système considéré, par le carré de sa distance à Taxe, est appelée moment dmertie ; on le désigne ordinairement par I, de sorte que
I=2mr*.
Si l'on conçoit que toute la masse M du corps, puisse être concentrée en un certain point, situé à une distance R de Taxe, de telle manière que Ton ait
I=MR*, d'où R* = n.
le rayon R sera appelé rayon de gyration^ et l'expression de la puissance vive totale sera
iM(«R)% ou iMV,
en désignant par V la vitesse 4 la distance R.
836. — Ije moment d'inertia d'un ayatèxne par rapport à un axe quelconque, est égal au moment d'inertie par rapport à. l'axe parallèle mené par le centre de gravité, augmenté du produit de la ttiaese totale, par le carré de la distance des
Pour le démontrer il convient, étant donné le moment d'inertie
I = Smr*
par rapport à un ase, de chercher le moment d'inertie Y par rapport à un axe parallèle. Prenons à cet effet, le premier axe pour Taxe des z^ faisons passer le second dans le plan xz^ et soient r et r' les distances du premier et du second axe, au point du système qui a pour coordonnées a; et y ; la distance de ces axes étant ly on aura en général,
ou, à cause de
Par suite, le moment d'inertie cherché, pourra s^exprimer par
Si Ton remarque que Smr'î^sl, et 6n appelant M la masse totale, il viendra
r = I+M/« — 2/2ma:.
Mais lorsque le premier axe passe par le eentre de gravité du
iS3
systëme, la somme des moments des masses partielles par rapport au plan des zy est nulley et Ton a
On obtiendra donc
ce qui démontre la proposition énoncée. On déduit de la dernière égalité en divisant par M,
Il résulte encore de ce qui précède, que pour un système de droites parallèles, le plus petit moment d'inertie est celui qui est pris par rapport d la droite qui passe par son centre de gravité.
83*7. — Moment d'inertie d'un système par rapport à un axe qneleonque, passant i>ar son centre de ora^-vité^ pris pour l'origine des coordonnées.
Désignons par a, p, y, les trois angles formés par Taxe donné OA avec les trois axes de coordonnées rectangulaires (Fig. 55), et supposons que M soit un point du système considéré, ayant pour coordonnées œ, y, z.
Menons par le point M et appelons r la perpendiculaire MN sur Taxe OA. Le moment d'inertie du corps par rapport à cet axe sera
I=Siwr*.
Fig. 65.
Nous allons chercher l'expression de r* en fonction des angles cl, p, y, et des coordonnées du point M. On a en premier lieu,
Mais
OM* = :p*+y« + ^V
et en vertu du théorème fondamental des projections,
ON = j: cos a + y cos p + ;5 cos y .
En élevant au carré, substiluanl dans l'expression (2) les valeurs de OM et de ON puis réduisant, on obtient
r« = a:« (1 — cos* a) + y' (1 — cos* p) + z* (1 — cos* y) — 2xt/ cos a cos p — 2xz cos a cos y — 2yz cos p cos y .
D'ailleurs on a
cos • a+ cos* p + cos' y = 1 ;
ce qui ramène la dernière expression à la suivante,
r' = X* (cos" p + cos* y) + y* (cos* a + cos* y) + ^* (cos* a +cos* P) — 2ary cos a cos p — 2xz cos a cos y — 2yz cos p cos y. (3)
Chaque point du système donnerait lieu à une relation analogue, on aura donc
I = (cos* p + cos* y) s mx^ + (cos* a + cos* y) Smy* + (cos* a + cos* p) 23 wz* — 2 cos a co's pS mxy — 2 cos a cos yS;wxz — 2 cos p cos yS myz ; (4)
formule qui donne le moment d'inertie par rapport à une droite quelconque y passant par le point 0.
\. — On peut représenter cette formule géométriquement ^ en portant sur les différents axes que Ton peut mener par le point et à partir de ce point, des fonctions déterminées de I, on aura ainsi autant de rayons vecteurs^ déterminant par leurs extrémités une surface lieu de ces fonctions. En ce qui concerne Taxe OA, prenons par exemple le rayon vecteur OR = p, obtenu en posant
relation dans laquelle o) représente une quantité arbitraire.
Pour trouver F équation de la sur face ^ lieu des points R, il faudra introduire les coordonnées de ce point dans la relation (4). Or, si on les désigne par â?o> yo^ ^o) ^^ Aura
a:o=pcosa, y^r^^pcosp, So=pcosy. (6) On en déduit
cos a= , cosp = , cosY= ,
iù (0 0)
et en faisant les substitutions voulues dans la relation (4), il viendra
iù L
— 2x^y^llmxy — ^x^z^Ymxz — 2yo2oSwy5 j .
Dans cette expression les sommes 2/wx', Swy', etc pourront
être obtenues séparément par ime intégration ; supposons-les connues, et soient a, b, c, rf, ^^ f leurs valeurs respectives, on aura en substituant,
(6 4- c) a:o' + (a + c) y^^+{a + b) V — 2rf.a:oyo — ^ex^z^
— 2/yo^o = <«>' ; (7)
équation d'une surface à ce7itre qui n'a pas de rayon infini, puisque le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe, est toujours différent de zéro. La surface est donc im ellipsoïde ayant son centre à l'origine, ou au centre de gravité du système ; elle donnera pour chacun de ses rayons vecteurs pris pour axe de rotation, le
iù'
moment d'inertie du système, et cela par la relation (5), 1= — ,
P dans laquelle on fait ordinairement pour simplifier (i> = l. Si, en
outre, on prend les axes de fellipsoïde pour axes des coordonnées,
la dernière équation revient à
ou
Xo« Sm (y' H- z») + y,' S w {x' -h :2;') + z,* Sm (a:»+ y*) = 1 ;
et Ton voit aisément que cette dernière n'est autre que
Xo-L + yo"P+VIi = l, (8)
en représentant par L, ly, Ix les moments d'inertie du système, par rapport aux trois axes de Tellipsoïde. Ces moments d'inertie et ces axes sont appelés moments d'inertie principaux, et axes principaux.
S39. — Lorsque la relation (8) sera connue, on trouvera le mo-
m CALCUL INTÉGRAL
ment d'inertie par rapport à un rayon vecteur quelconque passant par l'origine et faisant,par exemple, avec les axes, les angles a, p, y; il suffira, de faire intervenir les deux autres relations 5) et (6), et Ton aura
I=Ij. cos* a+Iy cos*pH-Ix cos*y . (9)
Ce moment d'inertie se rapportant à un axe qui passe par le centre de gravité^ on sait (d36) comment on passe au moment d'inertie, par rapport à un axe quelconque qui lui est parallèle. Il sera donc possible de résoudre tous les problèmes de ce genre.
— La relation (S) montre que le plus petit et le plus grand moment d^inertie, correspondent an grand et au petit axe de Tellipsoïde central. Quand deux moments d'inertie principaux sont égaux, il en est de même des deux axes principaux qui leur correspondent, et r ellipsoïde est de révolution. Si les trois moments d'inertie principaux sont égaux, leurs axes sont aussi égaux, et rellipsotde devient une sphère. Dans ce cas, tous les moments d'inertie pris par rapport aux axes passant par le centre, et de direction quelconque, sont égaux entre eux.
— Véquation (9) fait aussi reconnaître que lorsque le moment d'inertie est pris par rapport à un axe, situé dans le plan de deux axes principaux, il ne contient plus le moment d'inertie principal relatif au troisième axe ; car le facteur de ce dernier moment d'iner* tie est le cosinus d'un angle droit, dont la valeur est 7iulle.
— On déduit encore de l'équation générale, que si le corps considéré a un plan de symétrie passant par le centre de l'ellipsoïde, ce plan doit contenir deux a^es principaux et doit être jocrpenrftcwlaire au troisième ; et si le corps a deux plans de symétrie perpendiculaires entre eux passant toujours par le centre de l'ellipsoïde, leur intersection est un axe principal^ et les deux autres sont respectivement situés dans ces deux plans de symétrie.
C'est ainsi que dans un paraliélipipèdc rectangle, par exemple, les trois médianes issues du centre forment les trois axes principaux relatifs à ce centre.
Ô-40. — Comme pour la recherche des centres de gravité, nous considérerons encore iciles corps comme Aomo^^e5 ; le rayon de
gyration deviendra dès lors indépendant de la nature des corps, . il ne dépendra que de leur forme; en effet, .si P est le poids de Tunilé de volume de la matière du corps, et si V et v sont les volumes correspondant aux masses M et m, on aura
PV
où il vient
et
par conséquent (836)^
Smr*
Sur'
ce
qui donne,
I = Svr*,
relation dans laquelle les masses sont remplacées par les volumes, et où la quantité Hvr^ se nomme, par analogie, moment d'inertie du volume ; on en déduit
I=VR» et R' = :^.
Cela posé, passons à la recherche des rayons de gyration et des moments d'inertie, en prenant d'abord les corps géométriques, dans lesquels on peut négliger deux dimensions à côté de la troisième, c'est-à-dire les tiges minces rigides.
fi'dl. ^ Moments d'inertie et rayons de gyration des tiges ou tringles.
I. — Supposons que la tige OA de section 5 et de longueur L, tourne autour de taxe Ox passant par une de ses extrémités, en faisant avec lui un angle constant a (Fig. 56).
Soit M un de ses éléments situé à une distance / du point ; le volume de cet élément sera sdl , et sa distance à Taxe Ox sera / sin oc. Par suite, on aura pour son moment difiertie (^'^O) ,
I = 2ur*= / 5rf/./*sin«a= r 5.sin*a. L'. (1) pig. 56
Comme le volume de la tige est
Y=iL,
258 CALCUL INTKiGRAL
il viendra pour le carré du rayon de gyration (S-dO),
-5. sin'a. L'
D^ailleurS)
par coDséquent
R* = = = -L*sin«a. (2)
AB = L sin a ,
AB' = L*sin*a;
r-=-;ab'.
II. — Si la tige éX^îi perpendiculaire à Taxe, la relation précédente (2) deviendrait, en remarquant que sin 90^= 1,
R« = iL'. (3)
m. — Ijorsque la tige de longueur L tourne autour d'un axe A g B perpendiculaire en son milieu (Fig. 57), les deux parties symétriques OA et OB ont le même rayon de gyration ; en conséquence, ce rayon de gyration est celui de la tige entière, et Ton a
k R'= - AO = 7^ L'.
Fig. 57 3 12
