DEUX AUTRES
Ce cas s^applique à une feuille mince, ou même à une simple surface plane. Pour trouver ces moments d'inerlie, il faut décomposer la surface en éléments infiniment petits, par des parallèles à un côté.
S43. — Triangle. — L — VvQïionsà^dhovàxxïi triangle rectangle OAB (Fig. 61), tournant autour d'un des côtés OA del'angle droit; divisons-le en tranches très-minces par des parallèles à AB. Ces tranches pourront être assimilées à autant de tiges rectilignes, et
^B^ Tune* d'elles MP aura pour surface ydx, en
appelant x la distance OP et y la longueur MP. Si en outre e est son épaisseur, le volume sera ydx,e\ on aura par conséquent pour le carré du rayon de gyratiofi
et pour le moment dinertie de son volume (ô-40),
ydxe.'^y^=^ey^dx, ou, à cause de y = aa:(Foir analyt.).
si Tépaisseur ^ est négligeable, on peut substituer à ce moment d'inertie celui de Taire qui est
- a Vûfar .
En prenant la somme de ces moments d'inertie partiels, depuis x=Q jusqu'à x^=by il viendra
et comme, en désignant par A le côté AB du triangle, on a A'=a'A', on aura pour le moment d'inertie totaly
\=Lbh\ i2
II. — Si le triangle proposé tourne autour de T hypoténuse, on forme en abaissant la perpendiculaire BG (Fig. 62), deux triangles rectangles qui rentrent daiis le cas pré- B
cèdent, et qui donnent séparément '
;^OC.A* et 7^CA,A\ i2 12
.. ^ Pi«. 62.
Le moment d'inertie total sera évidemment la somme de ces deux expressions, et Ton aura encoro,en appelant h l'hypoténuse OA prise pour base,
Comme la surface est - AA , on aura pour le rayon de gyration^
Uh ^
On trouverait encore le même résultat, pour un triangle quelconque tournant autour d'un de ses côtés pris pour base, en le décomposant d*unc manière analogue en deux triangles rectangles, par la perpendiculaire abaissée du sommet sur cette base.
— I. — Supposons maintenant que Vaxe de rotation soit perpendiculaire au plan de la figtire, et considérons le triangle isocèle OAB (Fig. 53); plaçons cet axe au sommet en 6. Divisons le triangle de base AB = 2^ et de hauteur h, en tranches infiniment minces par des parallèles à la base AB ; appelons enfin x la distance de Tune de ces tranches MNN'M' à Taxe 6, e son épaisseur, 2y sa hauteur ; sa surface sera 2ydx et son volume, 2eydx. On aura, du reste (8^41. IV), pour le carré du rayon de gyration
soit
pour son moment
dinertie (S40)
2eydx\^ + x^,
ou,
à cause
de y=ax
'dx;
de sorte que le moment d'inertie total aura pour expression la somme de ces moments d'inertie élémentaires, prise entre les limites a:=0 et a:=6C = A, et IW obtiendra
2ac(|-M) f ^ x'dx=^ae{ç^-^{)h\
ou, en remplaçant le coefficient différentiel a par sa valeur ,
APPLICATtONS MÉCANIQUES
Or, le volume du triangle est Ç,he, par suite, on aura aussi
expression indépendante de Tépaisseur e.
IL — Le rayon de gyration par rapport au même axe, d*UQ des triangles rectangles qui composent le triangle isocèle, soit du triangle 6AC, est le même que celui de ce triangle isocèle. En effet, les deux triangles partiels étant égaux, et placés identiquement par rapport à Taxe de rotation, ils ont évidemment le rayon de gyration commun et il doit être le même que celui de leur ensemble. Donc, l'expression trouvée (2) pour le triangle isocèle s'applique à chacun des deux triangles partiels.
Quant au moment d'inertie de chaque tçiangle rectangle, il sera égal à la moitié du moment d'inertie (1) du triangle isocèle, c'està-dire à
Jpa.(|Va«).
S-46. — Reotaagle. — I. — Soit un rectangle OBAC (Fig. 63) tournant autour dune de ses diagonales OA, que nous désignerons par p ; son rayon de gyratioïi sera égal à celui d'un des deux triangles partiels égaux, lequel est (d^3.II)
en appelant h la hauteur BD. Fig. 63.
Par suite, la surface du rectangle étant ab ou pA, on aura pour le moment d'inertie (S40),
IL — Le rectangle tournant autour dune de ses médianes Ox (Fig. 64), si Ton adopte l'ordre de décomposition indiqué, consistant à
mener des parallèles à l'axe infiniment rapprochées, en désignant par aei b les deux dimensions du rectangle, par e son épaisseur 3 uniforme, le volume de la tranche MN dont la dis- N tance à Taxe est y, sera eady et son moment d'inertie (S-40),
eay*dy .
La somme de ces moments d*inertie partiels, prise
MSB^SSSSSÇI
PIg. 64.
entre les limites et -, donnera le moment ainer-
tie du rectangle ÂBDC, et Ton aura
ea
/* 1 ibV i
L'autre rectangle conduira au même résultat ; de sorte que ron obtiendra pour le moment d'inertie total,
soit
pour le moment d'inertie de Taire ; valeur h laquelle on serait ar-
rivé en prenant l'intégrale entre les limites et +-. On a du
reste, pour le volume du rectangle proposé, abe ; ce qui conduit à
eab \2
Fîg. 65.
valeur indépendante de l'épaisseur e,
IIL — Si le rectangle tournait autour d'un axe Ox, faisant avec une médiane OM tm angle connu CL (Fig. 65), en désignant par I« et I, les moments d'inertie autour des axes principaux 1*5 OM et ON, on trouverait le moment d'inertie cherché par la relation (839.9), dans laquelle il y aurait lieu de faire
ce qni donnerait
APPLICATIONS MÉCANIQUES p = 90* — «, Y=^'
1=1, C08* a + Itf sin'a;
et comme, d'après ce que Ton vient de voir, on a
et
il en résulte
ab\
I = — oô (a* cos* a4- i' sin ' a).
Lorsque le rectangle devient un carré on a A == a, et par suite, relation indépendante de Tangle «,
'. — I. — Supposons actuellement que Vaxe de rotation soit perpendiculaire au plan du rectangle^ et plaçons-le d'abord à Fun
des sommets en 8 (Fig. 66). Menons la diagonale a- .c
correspondante 6B, et appelons encore a el ô les deux côtés du rectangle, e son épaisseur, d sa diagonale ; le moment d'inertie cherché sera,évidem- X ment, la somme des moments d'inertie des deux *** '
triangles partiels ; on aura donc (844.3)
ou
Le volume total étant a6e, on obtiendra pour lerayon de gyration,
=-rf».
abe 3
II. — Quand Taxe sera placé (m milieu de Vun des côtés du rectangle (Fig. 67), on formera, en menant la mé-
C diane de ce point, deux rectangles égaux qui
d. auront le même rayon de gyration
Fig. 67. ^'"^â^*'
Le rectangle total aura donc lui même ce rayon de gyration.
m. — Il est facile de voir que lorsque Taxe est situé au centre de figure 9 (Fig. 68), les quatre rectangles partiels égaux, formés en
menant les deux médianes, ont le même rayon de gyration, et que ce rayon de gyration est celui du rectangle total, c'est-à-dire
Fig. 68.
OU, en représentant par S la demi-diagonale.
IV. — Considérons enfin, un rectangle tournant autour d'un axe encore perpendiculaire à son plan, et situé sur le prolongement d'une médiane en 6' (Fig. 68). Désignons par / la distance de cet axe au centre de figure ; soient aussi R' et R les rayons de gyration du rectangle par rapport à Taxe 6', et par rapport à Taxe parai-
lèle 6, passant par le centre de gravité ; sachant que R" = ;- X', on aura, en vertu de la relation (S36.2),
R'«=is^ + /«.
S'^T. — Applications. — I — On a à considérer dans la résistance des matériaux, le moment d'inertie, par rapport à une de ses médianes Ox supposée horizontale, d'un i^ectangle évidé symétriquement (Fig. 69). Ce moment d'inertie est la différence entre le moment d'inertie du rectangle extérieur, et celui du rectangle intérieur.
Aussi, en appelant a, b les dimensions du premier rectangle, a\ b' celles du second, on trouve (845.3)
\=^^eah^-^^e<^b-- = y{ab^-db'X
comme le volume total est V = (a* (ib')e ,
il vient pour le rayon de gyraiion,
I 1 ab'—ab'' ~V~12 ab—a'b' '
jss^sm-f
r^Vi
I ij0 à i I
Fig. 70.
Fig. 71.
IL — Ces formules sont aussi applicables au cas où la section
est en double té (Fig. 70), car, en représentant par — la partie intérieure de Taile, on tomberait sur la même différence.
Si l'épaisseur de Tâme est négligeable on peut écrire éï= a', et les formules qui précèdent deviennent
I=^«(A'-*")c, et
lit ^^^
in. — Lorsque les deux semelles sont reliées & Tâme au moyen de cornières (Fig. 71), il faut retrancher du moment d'inertie du rectangle total, les moments d'inertie des six rectangles égaux deux à deux, indiqués sur la figure.
^•48. — Disque ciroulaire. — • Pour trouver le moment d'inertie d'un disque circulaire tournant autour d'un de ses diamètres, considérons un de ses éléments M (Fig. 72) ayant pour coordonnées x, y , désignons-le par c?(i>. Soient aussi 0M= p et r le rayon du cercle, il viendra, en remarquant que le moment d'inertie du disque doit être le même par rapport à un diamètre quelconque, et en prenant pour axes de révolution les diamètres qui coïncident avec les axes coordonnés^
Fig. 72.
d'où
CALCUL INTÉGRAL I = - Srfco(x« + y*) = - 2rf<op .
On obtiendra cette somme en faisant d'abord celle des éléments concentriques de rayon p, qui est 277prfp ; puis, en intégrant ces couronnes dans toute l'étendue comprise entre p = et p = r ; et l'on trouvera pour le moment d'inertie de Taire entière,
I = 2j^27rprfp.p* = 7rJ^ p'ûfp = ^^r*,
d'où l'on tire
wr 4
— S'il s'agissait d'une couronne circulaire ayant r et r pour rayons extérieur et intérieur, on aurait
et R«=-(r»— r").
8-49. — IHsqae elliptique. — Soit l'ellipse ABCD tournant autour du grand axe Ox (Fig. 73). Supposons-la divisée en tranches
élémentaires parallèles au petit axe ; l'une d*elles MP aura pour surface ydx^ el pour
rayon de gyration (Ô41.3), R*==-y» ; de \C 3
sorte que le moment d'inertie sera, pour le quart de F ellipse (S-40) ,
r yrf^-gy*-
Fig. 73.
On pourrait remplacer dans cette expression y par sa valeur tirée
de Téquation de l'ellipse, et intégrer ensuite ; mais on arrivera plus
simplement au résultat; si, décrivant une demi-circonférence sur le
grand axe, on remarque que l'on a, en appelant y^ l'ordonnée H'P
d'où en sabsti tuant,
L'intégrale de cette expression représente, précisément, la somme des moments d'inertie de tous les éléments du cercle, compris entre et a ; et comme, d'après ce qni précède, le moment d'inertie de
ce quart de cercle est (8'48) — 'kû^, il en résulte pour le quart de
l'ellipse,
— . 7- wa* = — irofc'.
Or, l'aire du quart de l'ellipse est (1O8)
donc,
D'après cela, le moment cTmertie de l'ellipse entière par rapport au grand axe, est
— Si Fellipse tournait autour de son petit axe on aurait
— On trouverait pour une couronne elliptique tournant autour du grand axe, et déterminée par deux ellipses semblables, dont les demi-grands axes de l'intérieure seraient Sa et SA,
S50. — Comidérons encore le disque (Fig. 72), d'épaisseur uniforme c, mais supposons qu'il tourne autour d'un axe perpendiculaire à son plan, passant par le centre que nous appellerons dans ce cas 8. Décomposons-le de la même manière, en couronnes concentriques ; celle de rayon p aura pour volume 277p.rfpe, et son moment d'inertie sera
27rp.rfpc.p*= 2pe7fWp.
Le moment dinertie du volume total sera donc,
l = 2T:e I p'dp = - -ner^ Le volume du disque étant «r*^, il viendra
