I=VR
— C*esi ainsi que pour un cylindre droit tournant autour de son axe, on cherchera d'abord le rayon de gyration du disque (860) qui est
si h est la hauteur du cylindre on en déduira
— Le moment d'inertie d'un anneau de rayon intérieur r , et de même hauteur h que le cylindre, serait
I=i,cA(r*-r'»), car (860),
d55. — Oône de révolution. — Soit donné le cône (Fig. S3) tournant autour de son axe ; nous représenterons par 6 le rayon de sa base et par a sa hauteur, puis nous le supposerons divisé en éléments tronc-coniques tels, qu'ils puissent être considérés comme des cylindres y à un infiniment petit près d'un ordre supérieur au premier. Le volume de l'élément MNN'M' sera donc
et son moment d'inertie (S50),
-T.y'dx,
dx a dy~b
a dx=:^dyy
de sorte que le moment d'inertie du cône sera
ou, à cause de
donnant
Le volume du cône étant on aura
856. — Sphère. — Considérons enfin une sphère tournant autour d'un de ses diamètres, soient son rayon r et a:, y, 5; les coordonnées d'un élément de volume rfv, par rapport à trois axes rectangulaires passant par son centre. Le moment d'inertie sera évidemment le même pour chacun de ces trois axes ; aussi, en représentant par p la distance au centre de l'élément considéré^ on trouvera
I=Sdt;(x» + y') = 2rfi;(y« + 5') = Scto(a7« + ^»), d'où Ton tire
On peut obtenir cette somme en groupant d'abord les éléments dv qui sont à la même distance du centre ; ces éléments forment une couche sphérique dont le volume est iTZp^dp, et il vient
3I = 8w r'p*rfp=?7rr*, */ 5
soit
comme le volume de la sphère est
il en résulte
VI. — DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A DEUX, ET A UN PLUS GRAND NOMBRE DE VARUBLES.
d57. — I>iver8es équations différentielles. — Les équations différentielles, c'esl-à-dire les équations qui contiennent en dehors des variables, leurs dérivées ou leurs différentielles d'ordre quelconque, peuvent se diviser en deux catégories bien distinctes : 1*, les équations différentielles renfermant seulement une variable indépendante; 2®, celles qui renÎQvmeni plusieurs variables indépejidantes. On distingue dans la première :
1° — Les équations différentielles ordinaires contenant en dehors de la variable indépendante, une seule variable^ et la dérivée ou les dérivées de celle-ci par rapport à la première.
2* — Les équations différentielles à une seule variable indépendante, peuvent renfermer plusieurs autres variables et leurs dérivées par
rapport à la variable indépendanlc. Elles forment alors un système d équations différentielles dites simultanées.
On peut ranger dans la deuxième catégorie^ comprenant plusieurs variables indépendantes :
1* — Les équations dans lesquelles se trouve la différentielle totale de la fonction primitive, exprimée soit à laide des variables indépendantes, soit à Taide de ces variables et de la fonction ; on les appelle équations aux différentielles totales.
2!* — Enfin^ les équations qui ne donnent indépendamment des variables, que quelques dérivées ou différentielles partielles, sont appelées improprement équations aux différences partielles.
— Les équations différentielles se classent aussi, d'après Tordre le plus élevé des dérivées qu'elles renferment. Elles sont dites du premier ordre, si elles contiennent des dérivées du premier ordre ; du second ordre y si elles renferment des dérivées du second, et ainsi de suite.
Nous n'avons pas l'intention de nous étendre longuement sur les intégrations de ces diverses équations, nous examinerons seulement quelques cas, les plus simples, qui rentrent dans les applications les plies usuelles.
868. — Squations dilTérentielles du premier ordre et du premier degré. — Nous avons supposé dans ce qui précède, que les coëf6cients différentiels de la fonction cherchée, étaient exprimés immédiatement par le moyen de la variable indépendante, mais il ai*rive souvent que Ton n'a qu'une équation différentielle, qui renferme aussi cette fonction.
Supposofis d'abord que Ton ait à intégrer l'équation différentielle
r[y)dy = ^'{x)dx, (1)
dans laquelle les variables sont séparées. On reconnaît aisément, que celte équation n'est autre que la différentielle trouvée (SS.Rem.) de
DIFFÉRENTIELLES A PLUSIEURS VARIABLES m
Inversement, si l'on ajoute à celte dernière uue constante, l'équation ainsi formée
/(y)=?W-hC, (3)
sera ^intégrale générale de Téquatîon proposée (1). On voit Qu'elle s'obtient en intégrant séparément chaque membre, et en ajoutant à Vun deux une constante arbitraire.
L'équation (3) devient une intégrale particulière, lorsqu'on attribue une valeur particulière h la constante arbitraire.
— Si l'on a, par exemple^ à intégrer l'équation différentielle
—^2xdx,
on trouvera (146)
comme^ d'après la définition même des logarithmes hyperboliques,
on a
t/ = log'tf*., ...
on peut écrire
log'y=»log'^'+^ ou
et en faisant
on aura l'intégrale générale
yz^iae'*.
Pour chaque valeur attribuée à a on trouverait autant d'intégra-les particulières.
fi69. — // arrive plus généralement .que les équations différentielles ne se présentent pas comme la précédente, avec les variables séparées ; il faut alors chercher k effectuer cette séparation, au moyen de certaines transformations algébriques.
i* — Pour l'équation très simple
xdy^ydx,
on obtient directement
dy dx .
et en preBant riniégrale,
iog'y = \og'x-i'C.
Or, on peut regarder la constante arbitraire comme un logarithme, et écrire
d'où Ton conclut
log'^ = log'C,
ou
y=Cx.
2o — Véquation différentielle
se sépare facilement, et donne
3« — On trouverait pour
y'=:4a:*cos'y,
d*abord
^^ = 4a:'rfa:,
cos"y
tangy = x* + C.
dont rintégrale est
860. — SSqoatlons diilérentlelles homogènes. — Les variables se séparent aussi sans difficulté^ quand Téquation différentielle proposée est homogène en x et en y, c'est-à-dire quand les facteurs de dx et les facteurs de dy sont du même degré. Les opérations à faire pour cela, reposent sur les considérations suivantes : Si dans
une fonction algébrique, les exposants des quantités j:, y, £, ont
la même somme dans chaque terme, et que Ton substitue Vx à y,
Qo: à J5, etc ces termes passeront de la forme Kx^y*3f , à la
forme AP'Q* ^''+'+'+ -, ou à la forme AP'Q* x*, en dési-
gnant par m la somme des exposants. A cause de l'homogénéité^ on aura donc dans chaque terme le facteur x^ que Ton pourra supprimer, lorsque le second membre sera nul.
Cela établi^ soit donnée Téquation différentielle
/(ar, y)rfa:+ 9 (a:, y) rfy =^ 0,
dans laquelle on suppose que les fonctions / et f soient homogènes et du degré m. Faisons
d'où
dy = vdx + xdv\
en substituant, on mettra en évidence le facteur x^ qui pourra être supprimé ; il viendra
qui donne en effectuant et en séparant les variables,
dx ^ (f{i,v)dv ^ X /(l,t;) + t;.ç(l,v)
861. — Soit, par exemple, à intégrer Téquation différentielle homogène
xdy =^dx{y + ^ôF+f\ Faisant
y = vx,
on obtiendra par la méthode précédente^
dx dv
et, en prenant l'intégrale de chaque terme (16©),
log'ar — log'(v + v^l+t;') = log'C, car on peut supposer la constante égale à log' C; il en résulte
v-hy/T-pv'
ou, en remplaçant t; par sa valeur ^ et simplifiant,
On trouve en multipliant les deux termes du premier membre par
y—yjx^+y\
sJx'-hy'—y=C,
équation qui donne en faisant disparaître le radical ,
86d. — lÉBquatlons différentielles linéaires. -«» La MporoHon
des variables se fait encore, quand les équations proposées sont de la forme
où la fonction y et ses dérivées n'entrent qu'au premier degré, et ne sont pas multipliées entre elles. Ces équations sont appelées à cause de cela, équatiom différentielles linéaires. u et t> étant deux fonctions indéterminées de x, posons
d'où
dy = udv + vdu . (2)
Multiplions par dx les deux termes de Téquation (1), puis faisons la substitution indiquée par la relation (2), il viendra
iidv + vdu + uvf {x) dxsss^ (ar) dx, (3)
Les fonctions indéterminées u et t? peuvent être prises telles, que
Ton ait
udv = <p (x) dXf (4)
et
du-{-uf{x)dx=^0^
équations qui satisfont à la relation (3). La dernière peut s'écrire
du
h/{a:)(ir=0,
DIFFÉRENTIELLES A PLUSIEURS VARIABLES Ki
dans laquelle les variables sont séparées. On trouve en Fintégrant^
log'w-4- / f{x)dx^=consi..
Désignons par X en y comprenant la cofMofitey Vintégrale
ff(x)dx,
nous aurons
log'w-+-X = 0,
ou
log'w=: — X = log'«-»;
il en résulte Par suite, la relation (4) deviendra
d'où
dv=^€^(f{x)dWy et
t;ssr / e^ff{x)dx; donc enfin,
y=e*» / e^ff{x)dx.
— V équation différentielle
rentre dans le cas précédent lorsque, prenant
n — 1 on pose
On obtient, en effet, de la sorte puis en substituant.
et en divisant par
^ 1^ flf H — fc + 1
y c D' jsr
Fig. 73.
