BétenniJiation graphique des intégrales. — Lors

que aucun des moyens que nous avons examinés ne peut faire connaître l'intégrale, il sera possible de l'obtenir approximativement par une méthode graphique.

Pour cela, ayant ramené Téquation différentielle proposée à la forme

on peut considérer l'intégrale cherchée comme féquation d'une

courbe, dont le coefficient angulaire au point X, y sera donné par la relation (1).

D'ailleurs, à cause de la constante arbitraire, on peut supposer qu'un point quelconque A situé sur Taxe des y (Fig. 75) et ayant pour ordonnée y^, par exemple, «ppar tient à la courbe. On aura pour ce point

y'=/(o,yo), (2)

ce qui permettra de tracer la tangente. Celle-ci aura pour équation

y—y^=fifiyy^)^^ (3)

et l'on peut admettre, en négligeant les quantités très petites du second ordre, qu'elle rencontre l'ordonnée consécutive B'B menée à une distance h de l'origine, en un point B situé sur la courbe. Or, Vordonnée xj^ de ce point sera donnée par Péquation (3) de la tangente, en y faisant x=^h\ de manière que les deux coordonnées x = h, y=^y^ introduites dans l'équation (i) feront connaitre l'inclinaison de la tangente en ce point B. Léquation de cette tangente sera

y—yi=f{h,yi) [x~h).

En continuant ainsi, on obtiendra une courbe qui se rapprochera d'autant plus de la courbe cherchée, que l'intervalle h aura été pris plus petit. Il faudrait renverser l'équation (1), si l'or-

dounéo devenait infinie, et employer dans ce cas des parallèles à Taxe des x.

864. — • Bquations différentielles du premier ordre» dont le degré est supérieur au premier. — Supposons maintenant, que le degré de l'équation proposée soit supérieur au premier.

Si, par exemple, elle ne contient que la dérivée du premier ordre mais au second degré ^ il conviendra de résoudre Féquation par rapport à y\ ce qui donnera deux équations du premier degré. On cherchera séparément l'intégrale de chacune de ces équations, et en les fnultipliant Tune par l'autre, on obtiendra l'intégrale de la proposée.

— Considérom l'équation très simple

elle donne

y' + a=0 et y' — a = 0,

qui ont pour intégrales

y + aj:=C, et y— aa?=C'.

Lintégrale générale sera

(y + ax — C) (y— ax— C')=0.

En effet, si l'on différentie cette dernière équation, on trouve [y+ax — C) [dy — adx)+{y — ax — C) (rfy4-arfar) = 0, relation qui ^^i salis faite à la fois, par la première solution

y+aa: — C = 0,

y' + tf — 0, rfy+a(fe=ï=0,

donnant ou

et par la deuxième qui fournit

y — or — C' = 0, dy — adix:=0.

Il est permis, sans diminuer la généralité de l'itttégfale, de Silpposer C = C', car ces deux constantes n'entrent jamais à la fois dans la solution que Ton prend.

— On trouverait pour Téquation

la suivante,

y' =a±a^r^cos* X y

qui donne lieu aux deux autres

y' = «(4 + 8ini?), y'==:a(l — sinar),

lesquelles ont pour intégrales respectives

y = eM:H-C — acosd;

y=aa:-+-C+«cosx;

par suite, V intégrale générale sera

[y — €Ut — C + a cos x){y — ax — C — a cos a:) = 0,

(y — ax — C)' — û* cos* ar = 0.

— (hi opère de la m^oie manière lorsque le degré de y' est supérieur au deuxième. Ainsi, dans une équation différentielle où entre y'*, rintégrale générale s'obtient en déterminant les n valeurs de y', en intégrant les n équations différentielles du premier degré trouvées; et en multipliant toutes ces équations après avoir fait passer tous les termes dans le premier membre. Il est permis, sans diminuer leur généralité, de représenter la constante par la mêtne lettre dans toutes ces intégrales.

d66. — Solutions Bingullères. — Il se présente quelquefois des relations tout à fait distinctes de Tintégrale générale, qui satisfont comme celle-ci, à une équation différentielle donnée du premier ordre à deux variables, sans être des intégrales particulières ; on les appelle solutions singulières.

Pour se rendre compte de leur origine, il faut se reporter aux considérations géométriques exposées (d3).

Prenons Téquation différentielle

ayant pour intéfftaie générale

DIFFÉRENTIELLES A PLUStBUhS VARIABLES S8S

Cette dernière équation représente une famille de courbes qui a pour enveloppe (9-4) Téquation

obtenue en éliminant la constante C entre (2), et sa dérivée prise par rapport à C. Or, l'enveloppe est tangente à toutes les courbes représentées par l'équation (2) ; donc, si x ei y sont les coordonnées du point de contact entre l'enveloppe, et Tune de ses enveloppées, on doit trouver pour y' la même valeur^ quand elle provient indifféremment de l'équation proposée (1), ou de l'équation (3) de l'enveloppe. Par suite, Téquation (3) satisfait k l'équation (1), quoiqu'elle ne soit pas comprise en général dans réquaiia]i(2). £Ue n'est pas une intégrale particulière, mais une solution singulière.

866. — AquatlonB difléreatieUes du second ordre. — Nous examinerons d'abord les cas les plus simples. !• — Smt en premier lien

on aura^ en multipliant les deux termes par dx^

y''dx^=^dy' =f{x) dx, et en prenant l'intégrale.

1/^Jm

dx+C

Si l'on a pu trouver cette intégrale, on obtiendra, en la représentant par ç [x)y

Multiplions encore par dx^ il viendra

y'dx=dy = <f{x)dx-i'Cdx, d'où en intégrant,

y= / ç{ir)dir+Car+C,

avec une deuxième constaa/^e arbitraire.

— Pour y''z=:l2x\

on aura

5^ = 4 f3x^dx+C = ix^ + Cy y= j kx'dx+ fcdx + a =x' + Cx+C.

2o — L'équation différentielle à intégrer peut se présenter sous la forme

^ rfy' On sait que y = -^ ; en multipliant les deux termes de ce rap-

port par y' et en remarquant que y'dx=dy , on aura

y'dy'

dy '

L'équation différentielle proposée deviendra donc, en multipliofit ses deux termes par dy^

y'dy'=f(y)dy, qui a pour intégrale

\=Jny)dy+C.

Si l'on a pu effectuer l'intégration et que f {y) soit l'intégrale trouvée, il viendra

d'où

dy Mettons dans cette dernière équation -^ ^ 1& place de y\ et séparons les variables j nous aurons

V^2ç(y) + 2C et en intégi*ailt|

DIFFÉRËiNTIELLES A PLUSIEURS VARIABLES S87

avec une deuxième eomlante arbitraire.

-— Prénom, par exemple f l'équalioa différentielle

qai revient à

y'dy'=ziydij.

On trouvera en intégrant une première fois,

^ = Ayrfy + C = 2y» -t- C , d'où,

par conséquent,

y'=§=vV+2C;

dX: '^y ' "^^

et en prenant encore l'intégrale (i6SB),

^=^Iog'(y+v/y'+^)H-C'

90*?. — Toute équation diffërentielle du second ordre, à deux variables^ qui contient les dérivées du premier et du second ordre à l'exclusion de ces variables, s^intégre comme celles du premier ordre. L'équation à intégrer étant

on voit, en effet, que y" est la dérivée première de y", et par conséquent, Téqualion proposée peut être considérée du premier ordre entre y' et sa dérivée. Supposons que l'intégration puisse se faire et que l'on trouve

en multipliant par dœ les deux membres de cette équation, et en

tS8 CALCUL INTÉGRAL

prenant encore Tintégrale, on aura l'intégrale générale

y= r?(^,C)ric4 r/,

avec deux constantes arbitraires.

— Soit donnée Téqualion différcnliello

df/ On obtient en séparant les vartables^ après avoir mis -^ à la

place de y^,

2dx=^ ^^

et en intégrant (168),

2x+C=log'(y'+Vl+y'«).

Or,

2a;+C = log'<î«*-^S

ou en faisant e^=^af

2ar-f-G = log'«",

par suite

ae'»^j/-h^i+t/\

On cherchera dans cette expression la valeur de y\ et Ton aura successivement y

2y'ae»*=a*5**— 1,

y'=i(ae.^-i.-"),

qui donne, en multipliant par dx et en intégrant (175),

S66. «^ On ramène encore au premier ordre toute équation dif-

férentielle du second, qui ne contient indépendamment de y' et y"^ qu'une seule des deux variables.

1* — Quand elle contient x, elle est de la forme

qui devient en multipliant par dx^

dy[ -\-f{x) y'dx -+- 9 (a:) rfa; = 0.

Si rintégrale de cette équation différentielle du premier ordre entre y' et x peut s'obtenir, et qu'elle soit

il viendra, en multipliant encore par dx et en intégrant,

y=-Jit{x,qdx+C\

ce qui donnera y en fonction de x avec deux constantes arbitraires, quand l'intégration pourra s'effectuer.

— Soit par exemple

on aura

dy' 2dx

dont l'intégrale est

log' y' == 2 log' x + log' C = log' C x', ou

Multipliant encore par dx et intégrant de nouveau, on trouve

qui est Vintégrale générale, puisqu'elle contient deux constantes arbitraireis G et C •

2** — Lorsque Inéquation différentielle contient seulement y et que Ton a

on obtient, en mettant

dy à la place de yf et en multipliant par dy^

y'dy' +f{y)y'dy +^{y)dy=:Q.

L'intégrale, si elle peut être obtenue, sera de la forme

qui fournit à son tour

'Ky)+C

d69. — Aquatlon» différentielles linéaires. — Il peut arriver que l'équation différentielle proposée soit linéaire ; c'est-à-dire que la fonction y et ses dérivées y\ y" s'y trouvent seulement au premier degrés sans être multipliées entre elles.

Examinons le cas où les coefficients étant constants, aucun des termes n*est indépendant des variables^ et soit

On fera

ce qui donne

et en substituant,

Cette relation indique que l'équation différentielle sera satisfaite^ si Tune des racines de l'équation

n^ + mp + q=:(S (2)

est 971. Or, il pont arriver :

1* — Que ces racines soient réelles et inégales. En les désignant par m^ fn^j on aura dans ce cas pour y les deux valeurs

Ce«i«, C'e«V, (3)

qui donnent chacune des intégrales particulières de la fonction différentielle proposée, puisqu'elles ne renferment qu'une constante; mais en les ajoutant on satisfera encore à la fonction (1), à cause de sa forme linéaire, et Ton aura l'intégrale générale

y = Cé?»i*+C'e"4*. (4)

2o — Quand les racines de Téquation (2) sont réelles et égales et que Ton a

{m-py = ^,

m* — 2 pm +/?* = 0,

soit

/ — 2;?y'+iD»y = (5)

pour Téquation proposée, le procédé ci-dessus ne peut être employé, car il donne

OÙ se trouve une seule constante y qui est la somme C+C\ Dans ce cas on peut poser

d*où l'on déduit

y' = m<?«*(0 + C) + C<?«« , et

y^=m'e*«(Ca:+C')+2Cmc"'*.

L'équation différentielle proposée (S) deviendra, en faisant les substitutions voulues, et en divisant par ^"*' ,

[m^—2pm+p^) (Gr+C') + (m— /?)2C=0,

et celle-ci est satisfaite en prenant m = p; par suite, P intégrale générale est

y=(Cir-+-C')e^.

3\ — Enfin^ lorsque les racines de Téquation (2) sont imaginaires ^ elles ne cessent pas de vérifier Téqualion proposée, et l'on peut transformer les exponentielles imaginaires en quantités réelles par les procédés connus ; mais on arrive directement au résultat en

posant

y=cos(pa?+C')Ce«*.

a09 CALCUL INTÉGRAL

, Od en tire

y'=cos (px+C). C«tf«— 8m(px-t-C'). Cp«?««,

y " = cos (px -f. C). CaV" — 8in (p«4- C). 2C«pe*»

— co8(pxH-C0.Cp*e«»;

ce qui donne, en substituant dans l'équation proposée (4), et en supprimant le facteur Ce"*,

co8(pa;H-C') (a*— p'+a;) + y)~8in(?a:-hC') (2a+;>)p=0; équation qui est satisfaite quand on pose

D'ailleurs, la valeur de p est ici réelle, car on tire de ces derniè> res équations

-sRl

tandis que les racines de Téqualion (2) étant imaginaires par aup^ position, donnent

T — ?<0> soit y— Ç>0.

il?Vwî on aurait y par exemple j pour réqualioii

dans laquelle

jo = — 7 et y=12,

Cc«^(ms — 7m+12)=0.

Or, ^*=5 =^ \/ ^7 — 12 =3 et 4, racines réelles et inégales ^

ce qui donne pour y les deux valeurs

C^»* et C'f ** ;

d'où résulte l'intégrale générale

©70. — L'équation différentielle Hnéatre peut comporter au second membre une valeur différente de zéro, et Ton peut avoir

y''+py'+qy=k, (i)

On fait alors

et en substituant dans Téquation (1) on trouve ou

équation qui revient à celle traitée dans le paragraphe précédent.

— Supposons maintenant qu^ les eetifficients de Téquatiôn linéaire proposée

soient fonctions de la variable x. U convient de poser dans ce cas^

ce qui fournit

y' =as « V , et y* = t; V + v'e^.

L'équation proposée devient, en substituant et en faisant disparaître e ;

sur l'équation différentielle suivi^QtÇj du preiqî^r ordre entre v^ et x,

que Von traitera par un des moyens connus. Admettons que Ton ait pu trouver soù intégrale» et qu'elle' soit

multiplions-la par dx et intégrons de nouveau , nous aurons riniégrale générale

v= ff{x)dx + Cx-hC.

La valeur de y s'ensuit immédiatement.

»7l. — On peut encore ramener à Tintégration d'une équation différentielle du premier ordre à deux variables, celle d'une équation différentielle du second ordre, lorsqu'on est parvenu, par un procédé quelconque, à trouver une intégrale particulière de cette dernière.

Soit Y cette intégrale particulière qui est une fonction de x; faisons '

y = vY; (1)

V étant aussi une fonction de x, on aura

en substituant dans la différentielle proposée

/+;?y'+yy=o, (2)

on trouve

«-'YH-t;'(2rH-jDY) + t;(Y"-+-j9Y' + yY) = 0. (3)

Or, Y étant une intégrale particulière doit vérifier l'équation (2) ; il en résulte que la dernièse partie entre parenthèses de l'expression (3) est nulle. On aura donc

v'Y+^'{2Y+pY) = 0, qui donne en séparant les variables^

dv' 2Y'+/?Y^ , V Y

forme de différentielle dont l'intégration rentre dans les cas examinés.

2. — IMT£eRATION DES ÉQUATIONS DIFF£R£NTIBLL£8 SQUOiTAlIfiES. .

878. — ÏBqaations différentieUeB siiniiltauées du premier ordre entre trois variables. — Étant données les deux équations' différentielles simultanées,

dans lesquelles on considère t comme variable indépendante^ proposons-nous de les intégrer, c'est-à-dire de trouver x et y, en fonction de cette variable. U faut pour cela différentier les deux équations (1) par rapport à /, ce qui donnera deux nouvelles équations contenant, en dehors des quantités ci-dessus, les dérivées du second

ordre

L'élimination de y et de ses dérivées^ du premier et du second

ordre entre les quatre équations^ fournira une seule équation du

dx d^x second ordre entre x, — et •— que Ton essaiera d'intégrer par les

moyens connus. Si l'on a pu y parvenir, l'intégrale générale, contenant deux constantes arbitraires, sera de la forme

Pour trouver y on mettra dans l'une des équations (1) à la place

dx de j: et de — , leurs valeurs en fonction de t tirées de (2) ; on tombera de cette manière sur une équation différentielle du premier ordre entre y et /, dont l'intégrale générale, quand elle pourra s*ob-

tenir, aura la forme

OÙ C" représente une troisième constante arbitraire.

Cette méthode qui est générale, rencontre presque toujours dans l'application des difficultés qui en restreignent V emploi.

873. — Lorsque les équations simultanées sont linéaires par rap-

port hx^kyeik leurs dérivées, et qae les coefficients sont constants j ciroonaUnoa qui te priiMite M«ez souvent dans U% applleaiioiis, il

e«t préférable d'employer la méthode auivaote ; Onétimin^ ^

entre les deux équations données (878.1), onélimitw ensuite entre

dy les mêmes équations -^ , ce qui donne les deux autres y

dx dy , ^

- + ûa:+*y = C, j^ + a,x+b,y = C,, (1)

dans lesquelles on fera disparaître les seconds membres.

Pour y parvenir on établira entre deux quantités m et n, la relation Indiquée par les deux équations

am + Aw=C, aim+bin=Ci (3)

qui déterminent ces quantités, et Ton posera

x=u+my y=v + n\ (3)

en substituant dans lei équations (1) le^ valeurs données pour x et y dans ces dernières (3), elles prendront la forme annoncée

du at

4^a|î^-HM

=sO.

La première (4)

fournit

d où rpo dWuit

dv It"^'

du a 'Tt'V'

ces valeurs portées dans la dernière (4) donnent, ftpr^p ré4u6tioi||

équation linéaire à coefficients constants^ du second ordre entre u et t, dont rintégrale générale de la formé

DIFFÉRENTIELLES A PLUSIEURS VARIABLES IftV

Cette intégrale u étant déterminée, on eo déduira — en fonction

avec deux constantes arbitrairea, ^'obtiendra par les moyens con-

mts, (d69).

du Tt

de t, et Vonport^a oe9 valeurs daiu la premibr^ de» éqaalions (5) ;

cette marche fera connaître v, et partant, les valeurs cherchées de

X et de y.

C74. — Nous appliquerons la méthode qui vient d'être exposée, aux deux équations simultanées

dx dti

^+2^l0y = 4 et ^-+-3^^9y = 18, (1)

qui correspondent aux équations (1) du paragraphe précédent. Les équations (873.3) seront, dans le ca» qui nous occupe,

2m — 10w=4 et 3w — 9?i=18; (2) on en tire

m = 12, n=»2; on posera donc

C9 qui ramènera leç équations proposées aui fiulvantai,

du ^ ^^ ^ dv ^ ^ ^

^+Slw-^<Ov=-=0, ^^du-^9v^Q. (4)

L avant-dernière douuQ

1 du

d'où,

dv 1 d*u 2 du

dt 10 ^/* 10 dt' Substituant dans la dernièrq (4) ^t simpliflftUt, on a

d'u du

On a trpuvé pour Tintégrale de cette équation (»e9),

$t» CALCUL INTÉGRAL

dont on déduit