H-4CV

et en remplaçant dans la première des équations (5), il vient

v = jr (3Ce»' + iC'e» + 2Ce»' + 2C'e«) = ^ O* + g Ce»' ;

donc

a:=0«-f-CV+12,

y = iCe'«+^CV'H-2.

876. — Squattons dlirérentlelles simultanées du premier ordre entre quatre variables. — Pour intégrer un système de trois équations simultanées du premier ordre, entre quatre varia-bleSj — dont une seule indépendante, — on pourrait suivre une marche analogue à celle indiquée pour deux équations entre trois variables (878); mais on conçoit que les difficultés doivent augmenter avec le nombre de variables, et rendre bientôt cette marche presque impossible.

S'il s'agissait d'équations linéaires et à coefficients constantSy comme il s'en présente dans les applications, on les ramènerait à avoir zéro au second membre, en employant un procédé analogue à celui qui a servi pour deux équations (873). On aurait, de cette manière, à intégrer le système des trois équations

— + ax + by + cz = fSy

^+a,x+b,y-\-c,z=(iy (1)

— + Û8ar-|-6,y + c,:f = 0.

Il y a pour y parvenir plusieurs méthodes, parmi lesquelles nous prendrons la suivante, qui convient aussi pour deux variables : Posons

x = (>••*, y=pC««S z = yCe'^^, (2)

d'où il vient

dt ai ai

Substituons ces valeurs dans les équations (1) et faisons disparaître le terme Ce**^ nous obtiendrons

m + a+Ap + q' = 0, mp + ai + ôtp + c^Y = 0, (3)

mY + ei, + 6|p + CiY=0.

Ces trois équations en donneront une du troisième degré en m, si on élimine entre elles ^ et y- Supposons que les trois racines de celte équation du troisième degré soient mi, m„ m,; que les valeurs arbitraires de C correspondantes soient Ct, Gj, G,; celles de ^ et de Yi Po pi» P« et Yi> Y«» Y»' ï-*®^ intégrales générales au système d'équations proposées (1) seront :

X = de "•»* + G,e «*' + de "»S

y = ^,de ^i' + P,G,e ^' + p.Gs^ «|^ (4)

z = Y,G,<? -«' + y, de "•«' + YaC.^ "'*^

et Ton voit que les équations linéaires (1) seront satisfaites par le système de valeurs (4).

876. — I>es équations différentielles du premier ordre à deux variables. — Les équations différentielles du premier ordre à deux variables, peuvent toujours se mettre sous la forme

en désignant par M et par N des fonctions de x et dé y. Le premier membre de cette équation, dans lequel on considère x et y comme variables indépendantes, étant par supposition la différentielle

exacte d'une ceri&ine fonction /(a:, y), Tintégrale générale sera dans ce cas

f{x^y) = consi..

Pour que celte circonstance se présetUe^ il faut que M et N soient les dérivées partielles du premier ordre de la fonction^ par rapport à X et par rapport à y ; ce qui entraîne la condition que la dérivée de M par rapport à y soit égale à la dérivée de N par rapport à x. En effet, la dérivée totale de /(x, y) étant (30)

on a par hypothèse

dx dy

En prenant la dérivée partielle par rapport à y de TavantHlerniëre égalité, et la dérivée partielle par rapport à j: de la dernière , il vient

dxdy dy dydx dx'

Or, on sait (-Id) que

(/y rfy

dxdy dydx*

il en résulte

dîA dN

dy dx '

87*7. — S^acteur propre à rendre une différentielle exacte. — Si Ton remarque qu'une équation différentielle résulte, en général , de VélimvuUion d'une constante arbitraire, entre Téquation primitive et sa différentielle, on reconnaîtra que Ton ne rencontre pas souvent des différentielles directement iniégrables; mais il existe toujours un facteur propre à rendre VLdx+^dy une différentielle exacte.

En différentiant, par exemple, Téquation

on Irouvô

et réiimination de la constante conduit à

xdy — ydx^ss^iij 2)

équation dont le premier membre n'est pas une différentielle exacte ; tandis qu*en dégageant la constante C, Téquation proposée serait devenue

qui donne

xdy — ydx

où ia condition d'intégrabililé est satisfaUe ; car on a

M=^— ^, et N=-,

ce qai conduit à

dy x^'^dx-

On voit donc qu'il a suffi de restituer à l'équation proposée (2) le facteur -^ qui avait disparu dans Télimination de la constante ar-

bitraire^ pour rendre cette équation directement intégrable.

Mous ne donnerons pas les méthodes qui font découvrir le facteur propre à rendre une différentielle intégrable, parce que, en général, cette recherche présente plus de difficultés que le calcul directement proposé.

S78. — Des équations différentielles du premier ordre à trois variables. — Considérons une équation différentielle totale du premier ordre à trois variables^

dz=^f{x,y)dx + if{x,y)dy, {^)

dans laquelle z est considéré comme fonction de x et de y, et soit à prendre son intégrale, ce qui revient à trouver z en fonction des deux variables indépendantes.

On admet par hypothèse que le second membre soit une différentielle exacte ; il faut pour cela (©76) que les fonctions f{x^y) et ? (x, y) soient les dérivées partielles respectives, par rapport à a: et à y de la fonction z^ c'est-à-dire

^=/(-'ï?,y)» et ^=?(y,^). (2)

On sait, de plus, que Ton a dans ce cas (876)

rf- f{^^ y) d. ç (x, y)

dy dx

La première des équations (2) donne

dz=^f{x,y)dx\ (4)

en prenant l'intégrale par rapport à a? on obtient z , mais la constante qu'il faut ajouter ici doit se déterminer de manière à ce que la deuxième équation (2) soit satisfaite par la valeur de z. Cette constante doit être une fonction de y, attendu que dans la différentiation de z par rapport à x, une fonction de y, alors supposé constant, a dû disparaître.

Représentons par F (x, y) l'intégrale de l'équation (4) par rapport à x, et par ^ {y) la constante inconnue, nous aurons

z = ¥(x,y) + if[y). (5)

Différentiant par rapport à y il viendra^ à cause de la deuxième équation (2),

dz d.F(x,y) ,,, . , , d'où Ton déduit

Cette relation donnant ^'{y) fera connaître la consianle cherchée il/ {y\ si Ton en prend l'intégrale par rapport à y. On substituera Cette valeur dans l'équation (5) et l'on aura enfin z.

— fh^efions comme exemple ^ l'équation dilTérenlielle

dz = (4xy ' + 3 j: V' + 1 2x') cZr + {6xY + 2x'f/ + 8//') rfy .

Elle donne

^ = ix!/'+3x'i/ + i2x\

et comme la condition d*inlégrabilité (d78.3) est satisfaite, attendu que Ton a

dy dx

on peut appliquer la méthode qui précède. Il viendra d'abord,

;: = Siry + j:y + Sx* + ^ (y), ensuite

dz on en déduit.en comparante la valeur ci-dessus de -r-,

d'où

il en résulte

5 = 2xy + j:y+3ar*+2y*+C.

8*79. — Les différentielles qui renferment wn nombre quelconque de variables, s'intègrent par une e&tension de la méthode que Ton vient de voir. Mais nous examinerons seulement Téquation

Me/x+NrfyH-P.rf5=:=:0, (1)

dans laquelle on suppose que M, N et P soient des fonctions des

trois variables x,y^ z\ et, en outre, que le premier membre soit la

différentielle exacte d'une fonction v des trois variables, de telle

sorte que

t; = const..

Cette dernière condition étant remplie, les deux premiers termes Me/o: + N(iy, quand on y regarde z comme constant, doivent former une différentielle exacte. Désignons-la par du^ et supposons que l'intégration de

du=^}Adx+Ndy^

effectuée par le moyen indiqué ci-dessus, ait donné

Hasif{x,y,z).

Cette fonction u obtenue en regardant z comme constant, ne peut différer de la fonction v que par une fonction de ;s; ; on aura donc

On en tire

dv d.f[x,y,z)

7z—îr~'^^^'^'

valeur qui doit nécessairement être égale à P. Par suite, ou

et en prenant l'intégrale par rapport à z,

d'où Ton déduit pour l'équation cherchée^

/(«> y , «) H- + (i) Œ= const. .