INT£6RATI0N DfiS ËQVATIONS AÏÏX DIFFÉRENCES PARTIELLES
tè^O. — D«s éq.MtttoMi s^«x aiiBèr«no#fl iMurtiaUiM Am mter ordrtt. -^ On ne connaît ici pour effectuer Tintégralion, que
quelques-uns des coefficients différentiels de la fonction primitive, liés par une équation. Représentons par X, Y, Z des fonctions quel-
DIFFÉRENTIELLES A PLUSIEURS VARIABLES dM
conques des trois variables x, y, z, et proposons- nous d'intégrer Féqualion différentielle du premier ordre
nous allons transformer eette équation de la manière suivante : Supposons que Tintégrale cherchée soit
et prenons-en saccessivement les deux différenlieUes par rapport h X et par rapport à y, nous obtiendrons
df df^ iz df^ df^ dz
dx dz dx ^ dy dz dy
Les valeurs de -;- et de -7- tirées de ces équations, et introduites
dx dy ^
dans la proposée (1), lui donneront la forme
xMttÂ* UU U/U
û>nsidérons maintenant les équations
dx dy dz
donnant lieu aux deux équations simultanées du premier ordre
dx dy dx dz
soient
/o(^,y,^) = Co, et /i(^, y, z) = Ci (6)
leurs intégrales. En les différentiant on trouve
dx dy dz
et
fdx+fdy+fdz=^iS, dx dy dz
30(i CALCUL INTKCHAL
011^ en remplaçant les dx, dy, dz par les quantités proportionnelles X, Y, Z (û),
ax dy dz
et (7)
j^X+1^'Y + '|lZ = 0.
dx dy dz
En comparant ces relations avec Téquation (4) on reconnaît qu'elles satisfont à cette équation, et par conséquent, les fonctions A ^^ f\ (6) sont des intégrales particulières de l'équation proposée (1).
Désignant par o une fonction arbitraire de f^^ei de/i, multipliant
la première des équations (7) par —^ la seconde par --^^ei ajoutant
terme à terme il viendra (30), en tenant compte du théorème des fonctions de fonctions (85),
dx dy dz
Ce qui montre que la fonction ? satisfait également à l'équation (4). On en conclut que l'intégrale générale de l'équation proposée (1) est
On peut la mettre sous la forme équivalente
en représentant par ^ une fonction arbitraire.
881. — Soit, par expmple, Téquation aux différences partielles
dz dz dx dy
Les fonctions des trois variables seront ici
par suite, les équations (S) seront pour cet exemple.
DIFFÉRENTIELLES A PLUSIEURS VARIARLES a07
— + rf//=0, et rf5 = 0.
Elles ont pour intégrales
a:4-ay = Co, et z=Ci\
donc, l'intégrale générale sera
On trouve effectivement en ]a différentiant, les deux valeurs
— == 'V (x +«//), et ;^ = ^ ^' (^ + ^y) y
qui satisfont à Téquation proposée.
5oi/ encore Véquation
dz dz
dx dij
On a pour cette équation
Les relations (5) seront dans ce cas,
dx djj dx as
= , ei "~" = -z— , m n m k
et leurs intégrales,
my — nx = C,„ et mz — kx = C| ,
d'où Ton déduit pour l'intégrale générale,
7nz — /^j: 3= ^ {^ny — nx).
d88. — I>e8 équations aux difTérences partielles du second ordre. — 11 n'entre pas dans notre plan de nous étendre plus longuement sur les intégrations des équations différentielles; nous allons donner seulement quelques exemples qui se présentent dans les applications, et qui sont relatifs aux équations aux différentielles partielles du second ordre ; nous les ferons suivre pour terminer, de quelques applications géométriques.
— Soit Féquation aux différences partielles du deuxième ordre
dx^ dy*'
9 et ^ désignant dds fonctions arbitraires, ôtl satisfait à cette équation, de la manière la plus générale, en posant
2 = (p(y — aar)-H + (yH-ûa:).
Cette dernière donne, en effets
équations qui satisfont à la proposée.
— 5t l'on a l'équation
dxdy ' on y satisfait de la manière la plus générale^ en faisant
5 = ?(a:) + 'Ky) + ary.
Soit encore
m*-pT — 2mn . '+n'"r-, = 0.
ax^ dxdy dy*
Il serait facile de voir qoe Ton y satisfèrmi d'une manière gêné raie, en posant
z = (f{my+nx) + x. ^{my-^nx);
car, en différentiant cette dernière on trouverait des dérivées qui, substituées dans Téquation proposée, rendraient le premier membre nul.
Ênfin^ on satisfait de la manière la plus générale k Téquation
d'z , dH ^ rf'« , .
lir* dxdy ^ dy^^ '
avec
JS5SSÇ
On tirerait, en effet, de cette dernière des dérivées du second ordre qui vérifieraient Téquation proposée.
». - APPUCATIOIB OiOMtTRIQUES.
883. — I. —Trouver la courbe dont la sous-nomiale eMfNP^ portionneUe à rabsoHi0< — ^ En désignant par m une constante , on aura l'équation (81)
et en séparant les variables»
ydy sss mxdXj dont rintégrale est
Selon que m est positif ou tiégatif, cette équation représente une hyperbole ou une ellipse.
