Quelques mots maintenant sur la définition de la courbe

En disant de la courbe qu’elle n’a aucune partie droite; nous n’apprenons rien, sinon qu'elle n’est ni droite, ni composée de parties droites. C'est la définition vulgaire, qui procède par voie de négation, et demeure stérile faute d’aucun rapport avec la nature intime de la courbe.

En ajoutant que la courbe est une ligne où , d’un point quelconque à un autre point aussi rapproché qu’on veut du premier, la direction change incessamment, nous allons plus loin, et cela peut suffire.

Supposons d’abord que l’on soit au début de la géométrie élémentaire, et qu’on ne veuille point encore faire intervenir l’idée abstraite de direction. On se contentera de montrer comment la direction change incessamment, pour toute corde aboutissant par une extrémité à un point quelconque, choisi comme on voudra; par l’autre extrémité, à un second point qui se déplace continûment et se rapproche indéfiniment du premier.

Supposons ensuite que le moment soit venu de donner aux définitions de la droite et de la courbe toute leur extension, on aura recours à l’idée abstraite de direction, tenue jusque-là en réserve. On dira comment la direction subsiste tout entière à l’origine et, par conséquent, en chaque point de tout tracé; comment, s’il s’agit de la droite, la direction affecte partout la même détermination , et se manifeste en revêtant pour forme le type sensible de celte détermination unique et permanente; comment, au contraire, s’il s’agit de la courbe, la direction change incessamment d’un point à un autre, et passe ainsi par une suite de déterminations dont aucune ne persiste sur la moindre étendue, dont aucune, par conséquent,

SUR PLUSIEURS POINTS DE GÉOMÉTRIE, etc. 18

ne parvient jamais à s'isoler des autres, à se dégager complètement, à se manifester par un effet sensible où seule elle apparaisse.

10. On voit par ces détails en quoi peut consister l’avantage offert par nos définitions de la droite et de la courbe (n° 7) : d’un côté, elles ont un sens concret plus étendu que celui des définitions vulgaires et non moins facile à saisir; de l’autre, elles ont un sens abstrait, qui va au fond des choses définies et en accuse la nature intime. Au début, le sens concret peut suffire, soit qu’on s’y tienne exclusivement, soit qu’on fasse entrevoir plus ou moins le sens abstrait qui le complète. Plus tard, le sens abstrait devient indispensable : on s’y arrête alors, et c’est en lui qu'on puise les ressources dont on a besoin pour les applications ultérieures.