DE LA VITESSE CONSIDÉRÉE DANS SA DÉFINITION ET DANS SA NATURE INTIME

11. La mécanique s’euseigne aujourd’hui en commençant par l'élude du mouvement d’un point. Dans ce phénomène, le premier objet à considérer et à définir est ce qu’on nomme la vitesse. Qu’est-ce que la vitesse dans un point qui se meut? Telle est, dans le système actuel d’enseignement, la question qui se présente au début de la mécanique.

Pour aller du simple au composé, on suppose d’abord un mouvement uniforme. L’uniformité implique la proportionnalité des espaces parcourus aux temps employés pour les parcourir. Le rapport d’un espace quelconque au temps nécessaire pour franchir cet espace est donc une quantité constante. Celte quantité constante sert à définir la vitesse, et c'est ainsi qu’on adopte, en général, la définition suivante :

Dans le mouvement uniforme, la vitesse est l'espace décrit pendant l’unité de temps.

S’agit-il ensuite du mouvement varié? On l’assimile au mouvement uni-

forme, en imaginant des intervalles de temps infiniment petits, qui se succèdent de manière à reproduire la durée totale, et, pendant chacun desquels il y a, par hypothèse, uniformité. Dans ce système, on désigne par t U ce qu’on appelle un instant infiniment petit, et par de l’espace franchi pendant ce même instant. L’espace de est, comme le temps dt, infiniment petit. La vitesse est le rapport de cet espace à ce temps , c’est-à-dire qu’en la désignant par v, elle a pour expression générale

v = Ti'

De là cette autre définition plus étendue que la première, et applicable à tout mouvement d’un point :

La vitesse est le rapport d'un espace quelconque infiniment petit, au temps infiniment petit employé pour décrire cet espace.

12. N’oublions pas qu’en procédant ainsi, l’on s’adresse à des commençants; n’oublions pas qu’on ne doit employer aucun mot dont le sens ne soit pas compris, aucune hypothèse d’effets instantanés propre à fausser les idées.

Comment les élèves entendront-ils ce qu’on nomme un espace, un temps infiniment petits? S’agit-il seulement de quantités très-petites, ou bien de ces êtres chimériques que nous avons déjà signalés, et qui sont absolument inintelligibles? Dans le premier cas, il est faux qu’un mouvement varié se compose d’une suite de petits mouvements uniformes, se succédant sans intervalles , et différant les uns des autres par la vitesse. Pour qu’il pût en être ainsi , il faudrait qu’à chacun des instants sans durée, pris pour limite commune à deux quelconques de ces mouvements uniformes, la vitesse changeât brusquement d’une certaine quantité. En vain supposerait-on cette quantité très-petite, elle n’en constituerait pas moins un de ces effets instantanés, que M. Fortoul signale avec raison comme propres à fausser les idées, et dont on doit, en conséquence, écarter jusqu’à la moindre hypothèse. Dans le second cas, l’inconvénient n’est pas moins grave : les mots dont on se sert restent dépourvus de sens , et ils échap-

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penl à l'intelligence du professeur tout aussi bien qu’à celle des élèves.

Ces simples remarques suffisent pour montrer combien les sages instructions de 31. Fortoul ont été méconnues dans tous les traités de mécanique élémentaire, où l’on définit la vitesse comme nous l’avons indiqué tout à l’heure. Nous ajouterons que, sans sortir des sentiers battus, il était possible de donner une définition plus exacte. On pouvait, par exemple, s’exprimer comme il suit :

Soit Ae l'espace décrit à partir de l’instant t , pendant le temps A t; ta vitesse, à ce même instant, est la limite vers laquelle le rapport ~ converge, lorsqu’on dispose de l’intervalle Al et qu’on le fait décroître indéfiniment.

Cela revient à écrire,

o = liro

et l'on voit que l’exactitude du fond n’exclut pas la simplicité de la forme.

13. Nous n’insisterons pas sur ce fait étrange, qu’une méthode absurde dans son principe et contradictoire dans ses conséquences puisse être préférée à une méthode rationnelle. Il ne s’agit pas ici d’un choix à faire entre des notions qu’on emprunterait soit à la méthode des limites, soit à l'analyse infinitésimale. La question doit être prise de plus haut : en effet, si des difficultés surgissent lorsqu’on veut définir la vitesse dans le mouvement varié, cela tient à ce qu’elle est mal définie dans le mouvement uniforme , et non point à ce que le mouvement varié introduit une complication propre à réagir sur la vitesse et à en modifier l’essence. De part et d’autre, la vitesse est une seule et même chose, ayant une seule et même nature, admettant une seule et même définition. Ainsi que la direction dans la ligne droite ou courbe, elle a son essence propre, et cette essence se retrouve tout entière dans chacun des états qu’elle affecte, soit qu’elle demeure invariable, soit qu’au contraire elle subisse une variation incessante.

Dans le langage usuel, on entend par vitesse d’un corps la rapidité plus ou moins grande du mouvement qui anime ce corps. Quelques auteurs empruntent ces mêmes termes ou des termes équivalents pour donner une

idée de la vitesse dans un point qui se meut. Toutefois, ils passent outre, et voulant préciser davantage, ils s’arrêtent aux définitions que nous avons d’abord reproduites. Nous pensons qu’il faut procéder autrement.

14. Lorsque, dans le mouvement uniforme d’un point, l'on dit que la vitesse est l'espace décrit pendant l’unité de temps, l’on confond, selon nous, l’effet avec la cause, le principe avec sa conséquence, la mesure avec la chose à mesurer. Nous comprendrions que l’on dît :

La vitesse a pour mesi re l’espace décrit pendant l’unité de temps.

Cette façon de dire serait irréprochable. Si, d’ailleurs, il est exact de s’exprimer ainsi, il ne l’est pas d’identifier la vitesse avec un espace quelconque pris pour sa mesure. La vitesse est à l’espace parcouru ce que l’angle décrit par une droite est à l’arc correspondant sur la circonférence de cercle ayant son centre au sommet de l’angle. L’arc n’est pas l’angle, bien qu'il lui serve de mesure. De même aussi l’espace parcouru se distingue de la vitesse tout en la mesurant.

Prenons un autre exemple et, pour rendre l’analogie plus frappante, empruntons-le au mouvement uniformément varié, tel qu’il se produit sous l’action d’une force constante en grandeur et en direction. Dan6 ce mouvement, la force est à l’accélération produite, ce que la vitesse, dans le mouvement uniforme, est à l’espace décrit. Telle est d’ailleurs l’analogie, que les deux mouvements, mis en parallèle, peuvent s’exprimer par une seule et même équation linéaire

y = ai -+■ 6.

a et b étant des constantes, t lè temps écoulé à l’instant que l’on considère.

S’agit*il du mouvement uniformément varié, a est la force, y^-b l’accélération produite.

S’agit-il du mouvement uniforme, n est la vitesse, y — b l’espace décrit.

On voit par là qu’il n’y a pas simplement similitude, mais bien identité complète de relation. Ce sont donc les mêmes rapports, la même dépendance, qui s’établissent d’une part entre la force et l’accélération, d’autre part entre la vitesse et l’espace décrit. Or, dans le mouvement uniformé-

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meut varié, la force est le principe direct, la cause immédiate de l’accélération. Donc aussi, dans le mouvement uniforme, la vitesse agit comme principe direct, comme cause immédiate de l’espace parcouru-

Lorsqu’il s’agit du mouvement uniformément varié, on se garde bien de confondre la force avec l’accélération qu’elle produit. De lui-méme, l’esprit se révolte à l’idée d’une pareille confusion entre la cause et son effet sensible. La confusion n'est pas moindre, elle est absolument la même, lorsque, dans le mouvement uniforme, on prend pour la vitesse l’espace décrit pendant l’unité de temps. Cet espace n’est point la vitesse, il ne fait que la mesurer; distinction capitale, non moins importante ici que pour la force et l’accélération. Il saute aux yeux que la force ne serait pas définie, ou le serait très-mal, si, prenant l’effet pour la cause, on identifiait la force avec l’accélération. De même, on ne définit pas la vitesse lorsqu’on la fait consister en un espace décrit; on la confond avec sa mesure : rien de plus, rien de moins.

15. Après avoir reconnu que les formules adoptées pour définir la vitesse s’appliquent à la mesure de la vitesse et non point à la vitesse proprement dite, il convient de chercher quelque autre définition plus satisfaisante.

Un point se meut. Le déplacement continu de ce point a-t-il pour cause immédiate et nécessaire l'action d’une force extérieure ? Non, sans aucun doute. La preuve en est dans le mouvement uniforme qui se conserve de lui-méme, et où nulle force extérieure ne peut intervenir sans qu’il se modifie. Considéré en lui-même le déplacement d'un point qui se meut est évidemment un effet. Cet effet , comme tout autre , dérive nécessairement d'une cause première, et si celle-ci n’agit pas comme cause immédiate , il faut qu’il y ait entre elle et l’effet une cause seconde. Or, en supposant que le déplacement, pris à son origine, ait eu pour cause première l’action d’une force extérieure, il n’en faut pas moins admettre qu’il peut continuer après que la force extérieure a cessé d’agir; et, puisqu'il subsiste alors sans que la force agisse, il a pour cause actuelle et immédiate autre chose que l’action première de la force extérieure. De là résulte, comme cause immédiate du déplacement observé, une cause dis-

tincte de toute action extérieure : cette cause consiste dans un état de mouvement qui , par lui-même et en vertu de sa propre essence, tend à se conserver. Elle constitue ce qu’on nomme la vitesse.

Lorsqu’un point matériel supposé libre, est soumis à l’action d'une force , la force agit directement comme cause de changement d’état. Le changement d’état consiste dans le passage du repos à l’état de mouvement, ou, plus généralement, dans le passage d’un état de mouvement à un autre. C’est en vertu de l’état de mouvement, acquis sous l’action de la force, que le point se meut. Cet état constitue la vitesse du point et tend par lui-même à se conserver. Tel est l’ordre successif des phénomènes. La force extérieure agit comme cause première. Elle a pour effet direct un changement d’état. L’état acquis agit à son tour comme cause immédiate du mouvement sensible. On distingue la force du changement d’état qu’elle produit, et par lequel on peut la mesurer. On doit également distinguer l’étal de mouvement acquis de l’espace qu’il fait décrire, et où se trouve sa mesure.

Pour compléter ces notions fondamentales, il suffit d’ajouter quelques mots.

Concevons deux droites qui se coupent, et un point qui se meuve de lui-même sur l’une ou sur l’autre. Imaginons d’ailleurs que nous soyons à l’instant précis où le point mobile passe par l’intersection de ces droites. En tant qu’il s’agit du point, considéré extérieurement dans cette position transitoire, tout est identique, soit qu’il aille plus ou moins vile, soit qu’il parcoure l’une ou l’autre des deux droites. Par hypothèse, le point se meut. Comment? Ilien jusqu’ici ne l’accuse. Tout à l’heure la direction suivie, l’espace parcouru révéleront le mouvement du point en le rendant sensible; mais, dam ce qui ta suivre, rien ne vient du dehors. Hien, par conséquent, ne peut surgir qui déjà n’ait en soi sa raison d’être, son principe. Si donc, à partir de l’intersection des deux droites, la ligne suivie et l’espace parcouru témoignent d’une vitesse déterminée en direction et en grandeur, il faut qu’à l'instant même où le point mobile occupe cette intersection, la vitesse ainsi déterminée se trouve en lui tout entière. De là un étal particulier du point qui se meut, étal pttrement interne, et

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qu’aucun signe extérieur ne manifeste : c’est l’état de mouvement proprement dit, c’est le principe immédiat, c’est la cause incessante du passage d’un lieu dans un autre lieu; c’est en un mot ta vitesse. Les déplacements effectifs, les espaces décrits, sont de simples effets propres à caractériser l’état de mouvement et à le rendre sensible.

16. S’agit-il maintenant de définir la vitesse, nous dirons simplement,

La vitesse d’un point est l’état de mouvement qui anime ce point.

Nous ajouterons ensuite,

Dans la vitesse, on distingue trois choses : la grandeur, la direction, le sens.

La grandeur et la direction comportent chacune deux modes d’existence, selon qu’elles sont constantes ou qu’au contraire, elles varient incessamment. Dans le premier cas, il y a permanence d’une détermination unique, toujours la même; dans le second, il y a succession continue d’une suite infinie de déterminations toutes transitoires et purement instantanées. Que la vitesse demeure invariable ou qu’elle ne cesse pas de se modifier, peu importe en ce qui concerne chacun des états qu’elle affecte. Il y a toujours et à chaque instant détermination complète de tout ce qui la constitue, sens, direction, grandeur. 11 en est autrement dès effets qui la rendent sensible. Ces effets ne sont que par leur développement et, pour qu’ils se produisent, une certaine durée est absolument nécessaire.

Lorsque la vitesse est constante en grandeur et en direction, elle a partout un seul et même mode d’action qui transporte dans l’effet l’uniformité de la cause, et se révèle ainsi de lui-même, sans que rien le voile ou le dissimule. Lorsque la vitesse varie, les effets produits dépendent à la fois de ce qu’elle est à leur origine et des modifications qu’elle subit pendant leur développement. Ils se compliquent en raison de ces modifications, dont il faut qu’ils témoignent tout aussi bien que de la grandeur et de la direction premières. De là vient que, faute de pouvoir se dégager isolément, cette direction et cette grandeur sont plus ou moins voilées dans les effets produits.

De là résultent, en ce qui concerne la mesure de la vitesse et sa détermination, les énoncés suivants :

Dans le mouvement uniforme, ta vitesse a pour mesure l'csjxice décrit pendant C unité de temps. Déterminée en grandeur par cet espace, elle l'est en direction par la droite suivatU laquelle le mouvement a lieu.

Dans le mouvement varié , la vitesse a pour mesure l’espace qui serait décrit pendant l’unité de temps, si, à partir de l’instant que l’on considère, elle cessait d'être variable et persistait dans l’état quelle affecte. Déterminée en grandeur par cet espace, elle l’est en direction par ta droite suivant laquelle le mouvement aurait lieu dans la même hypothèse.

Il suit de là que, pour chaque position d’un point qui se meut, la direction de la vitesse est fixée par la tangente à la ligne décrite.

Soient, d’ailleurs,

A t un intervalle quelconque compté à partir de l’instant t;

Ae l’espace décrit pendant cet intervalle;

v la grandeur de la vitesse à l’instant t;

dt un intervalle quelconque, égal ou non à l’intervalle A< et compté à partir du même instant l;

de l’espace qui scivit décrit, pendant l’intervalle dt , si la vitesse conservait sa grandeur première v;

On a d’abord et évidemment

Or, dans le cas d’une vitesse incessamment variable, il suffit de resserrer convenablement l’intervalle Ai pour que la variation ne puisse pas cesser d’être continue. On a donc aussi

v = lim —

Rien de plus simple à démontrer que cette dernière formule.

Par cela seul que la vitesse change incessamment, à partir de Tintant t.

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elle commence par croître ou par décroître , et elle ne cesse pas de croître toujours ou de toujours décroître pendant un certain temps. Supposons l'intervalle At égal ou inférieur au temps pendant lequel la vitesse reste toujours croissante ou toujours décroissante. Soit, d’ailleurs, Av le changement subi par la vitesse durant cet intervalle. Si la vitesse demeurait constante pendant l'intervalle A t, selon qu’elle serait égale à v ou à v -f- Av. l’espace décrit aurait pour expression vA t ou (v + Av) A t. En réalité, l’espace Ae est décrit avec une vitesse variable, toujours croissante ou toujours décroissante entre les valeurs extrêmes v et v-f- Av. Cet espace reste donc nécessairement compris entre vAl et (v-j-Av) Ai. On a, en conséquence ,

Ae = «Ai -t- ntv.àt.

fi étant une fraction.

De là résulte

— = « ■+- JUA».

or Av converge vers zéro en même temps que chacune des différences Ae, At : v est donc la limite vers laquelle tend le rapport — à mesure que l’intervalle Ai devient de plus en plus petit. C’est ce qu’on exprime en écrivant

v — li ru — • âi

Après avoir démontré celte formule, disons sa raison d’être. Lorsqu’on resserre de plus en plus l’intervalle Ai. l’on ne change point, dans le rapport ~ , ce qui provient de la vitesse v, prise avec sa grandeur première, et supposée constante : on ne fait qu’amoindrir indéfiniment la partie de ce rapport qui dépend des modifications continues subies par la vitesse. Or, par cela seul que cette partie du rapport se trouve assujettie à converger vers zéro, il faut qu’à la limite elle s’évanouisse d’ellc-même. On a donc nécessairement

de ac

17. Nous voilà revenus aux formules dont nous avons parlé en commençant; mais combien n’avons-nous pas gagné ! Toute confusion a cessé, tout mystère a disparu. Chaque formule a sa signification rationnelle et son usage propre nettement indiqués. S’agit-il, en particulier, de l’équation symbolique

il n’est plus question de ces quantités infiniment petites, qui deviennent inintelligibles lorsqu’on prétend les tenir suspendues entre l’étre et le néant, et qui font de l’équation (t) soit un non-sens, soit une relation fausse, selon qu’on les suppose nulles ou finies. Pour nous, les symboles de, dt expriment des grandeurs algébriques tout aussi bien définies et non moins faciles à concevoir que les différences ordinaires Ac, Al. S’ils s’en distinguent, c’est uniquement par une hypothèse qui les ramène à n’être au fond que des différences ordinaires, et parmi celles-ci les plus simples de toutes.

18. Nous avons admis précédemment qu’en géométrie élémentaire, l’on pouvait s’en tenir aux définitions vulgaires de la droite et de la courbe; autre chose est de la vitesse dans les éléments de mécanique. Pour être bien définie, la vitesse exige impérieusement qu’on rejette le secours dangereux des infiniment petits, et qu’on y supplée par l’emploi des notions purement rationnelles que nous avons développées. Ici ces notions deviennent indispensables. Faut-il attendre jusque-là pour y recourir, ou ne vaut-il pas mieux emprunter leur aide dès l’abord, les introduire au début de la géométrie, et compléter ainsi les définitions de la droite et de la courbe? Chacun appréciera. Selon nous, l’on ne saurait s’y prendre trop tôt pour éveiller dans l’esprit des élèves l’idée abstraite de direction. Que l’on suive ou non la marche ordinaire, c’est toujours éclairer ses pas et se ménager pour la suite.de précieuses ressources que de commencer par un aperçu plus ou moins approfondi de la nature intime des lignes droite ou courbe.

En résumé, dès qu’on aborde l’étude de la mécanique, il est impos-

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sible de se faire une idée précise de la vitesse, si on ne la considère pas en elle-même, indépendamment de tout espace décrit, et, par conséquent, dans chacune de ses déterminations purement instantanées. Alors surgit la nécessité de voir dans la vitesse non pas une cause inséparable des effets qu’elle produit et se confondant avec eux, mais bien une cause essentiellement distincte de ces mêmes effets dont elle est le principe, et qui la rendent sensible, par leur développement dans le temps et l’espace. L’idée abstraite de vitesse se présente ainsi forcément dès le début de la mécanique élémentaire; il est clair, d’ailleurs, qu’elle implique l’idée abstraite de direction.

Un point se meut; donc, à chaque instant, une certaine vitesse l’anime. Que celte vitesse soit constante ou bien incessamment variable, peu importe, elle est toujours et, à chaque instant, complètement déterminée, non-seulement en grandeur, mais aussi en sens et en direction. 11 y a donc dans le point qui se meut, et par cela seul qu’il se meut, une direction actuelle purement instantanée. On voit ainsi que l’idée abstraite de direction est intimement liée à l’idée abstraite de vitesse, celle-ci ne pouvant subsister sans impliquer celle-là, et toutes deux jaillissant ensemble avec une entière évidence. En vain voudrait-on repousser l’idée abstraite de direction sous le prétexte qu’à l’origine elle présente quelque obscurité. Quoi qu’on fasse, on ne tarde point à voir cette idée surgir devant soi , et comme alors elle s’impose d’elle-mêmc par sa propre puissance, il n’y a plus lieu d’examiner s’il faut ou non l’accueillir.

Voilà donc l’idée abstraite de direction élevée au rôle qui lui appartient, et forcément introduite, sinon en géométrie élémentaire, où l’on peut s’en passer, au moins dans les éléments de la mécanique, où elle devient indispensable. Il semble dès lors assez naturel qu’au début de la géométrie, on s’efforce de la faire entrevoir et même de l'admettre définitivement. L’importance qui s’y attache sera mieux appréciée, lorsque nous aurons indiqué, dans la suite de ce travail, l’extension qu’elle comporte , les avantages qu’elle procure, les ressources qu’elle fournit; et, d’abord, donnons un aperçu des applications possibles en géométrie élémentaire, c’est-à-dire au début même de la science mathématique.