APERÇU DES APPLICATIONS POSSIBLES EN GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE

19. Nous avons vu quo, dans la génération de la courbe, il y avait à considérer le double mouvement d’un point et d’une droite, le point glissant sur la droite et la droite tournant autour du point '.

Pour donner un exemple de ce double mouvement, pour le rendre sensible et en quelque sorte matériellement palpable, pour lever ainsi toute difficulté, nous avons emprunté l’image d’un fil qu’on maintient tendu en môme temps qu’on l’enroule sur une circonférence de cercle.

Par là tout s’éclaircit, rien d’obscur ne reste, et l’on peut, sans crainte d'aucun malentendu , adopter la définition suivante :

La tourbe est la trace d’un peint qui se meut sur une droite, tandis que la droite tourne autour de ce point.

Cette définition peut à volonté s’étendre ou se restreindre. Si l’on s’arrête au sens qu’elle exprime littéralement, elle n’a ni la fécondité ni la puissance de celles où l’on fait intervenir expliciteifient l’idée abstraite de direction. Elle rachète ce désavantage par une clarté plus grande empruntée à un mode de représentation sensible et, pour ainsi dire, matérielle; elle suffit, d’ailleurs, pour rendre possible la démonstration à priori du jmiulaium d’Euclide et l'introduction en géométrie élémentaire des notions les plus précises sur la courbure des courbes. Sous ce rapport , elle va plus loin que la méthode infinitésimale, et cela, sans cesser d’être puremqgit rationnelle.

1 Les partisans de la courbe polygone admettent, comme nous, ce mode de génération. Il n'y a de différence qu’en ce qu’ils excluent la simultanéité des deux mouvements et que, par conséquent . ils mettent la discontinuité là où la continuité règne exclusivement.

SUR PLUSIEURS POINTS DE GÉOMÉTRIE, etc

Démonstration du postulalurn cf Euclide.

20. Nous nous bornerons à reproduire ici les points principaux d’une démonstration déjà publiée 1 avec tous les développements nécessaires pour une solution complète et rigoureuse.

On sait que le postulalurn d’Euclide peut être suppléé par Tune ou l’autre des propositions suivantes :

1“ Par un point pris hors d’une droite, oh ne peut mener qu’une jxirallèle à celle droite ;

2° Deux droites perpendiculaires à une même troisième et situées dans le même plan sont équidistantes ;

3° Lorsqu'une droite passant jrar un point fixe tourne autour de ce point, de manière à décrire un angle, elle tourne en meme temps du même angle par rapport à toute droite située dans son plan.

Ce que nous allons démontrer, c’est l’équidistance de deux droites perpendiculaires à une même troisième et situées dans le même plan.