PROPOSITION

Lorsque deux droites, situées dam le même plan, sont perpendiculaires à une même troisième, elles sont équidistantes, et toute transversale perpendiculaire à l'une des deux droites est en même temps perpendiculaire d l’autre.

Soient LS et AB deux droites perpendiculaires à une même troisième AL.

Nous savons déjà qu’aucune des perpendiculaires abaissées de LS sur AB ne peut être moindre que LA. Supposons que, parmi ces perpendiculaires, il y en ait une CD égale à LA; en ce cas, l’on démontre aisément que les droites LS, AB sont partout équidistantes, et que toute droite perpendiculaire à BA est en même temps perpendiculaire à LS.

Il ne reste donc à examiner que l’hypothèse où toute perpendiculaire CD abaissée de LS sur AB l’emporte en grandeur sur la perpendiculaire commune AL.

Dans cette hypothèse, on établit successivement et sans aucune difficulté les propositions suivantes :

Le lieu géométrique des points situés au-dessus de la droite AB, à la distance AL, est une courbe LM passant par le point L et située tout entière au-dessous de la droite LS.

La courbe LM admet deux modes de génération essentiellement distincts.

Elle est d’abord et évidemment la trace du point L, lorsque la droite AB glisse sur elle-même et entraîne avec elle la perpendiculaire AL.

Elle est ensuite la trace de ce même point, lorsqu’on le suppose entraîné dans le double mouvement, d’où résulte en général la description de toute ligne courbe *.

* Voir l'ouvrage désigné ci-dcssus (p. 27 en note), pour la démonstration complète et rigoureuse effectuée directement sur la courbe hypothétique LM.

SUR PLUSIEURS POINTS DE GÉOMÉTRIE, etc. 29

Ici les deux mouvements à considérer sont respectivement :

1° Une translation du point L sur la droite LS;

2° Une rotation de la droite LS autour du point L.

On remarque, d’ailleurs, que, si d’une position quelconque occupée par le point générateur, on abaisse une perpendiculaire sur la droite AB, la position correspondante de la directrice LS reste toujours relativement la même, c’est-à-dire que l’angle de la directrice avec cette perpendiculaire est constamment droit.

Considérons la génération de la courbe LM, alors qu’elle s’effectue par le double mouvement du point L sur la droite LS, et de la droite LS autour du point L. Remarquons, d'ailleurs, que le mouvement du point L sur la directrice LS peut être remplacé par un glissement de celle droite sur elle-même. Pour le voir clairement, il suffit d’imaginer en LS deux droites superposées, dont l’une soit libre de glisser sur l’autre et liée au point L, qui l’entraîne ainsi dans son propre mouvement; eu égard à cette observation, l’on peut dire :

La courbe LM est la trace du point L, entraîné par la droite LS, qui ylisse sur elle-même en même temps qu'elle tourne autour de ce point '.

Concevons qu’à l’origine de cette génération le point L, entraîné par la droite LS, rencontre comme obstacle à sa marche le système des droites LA, AD, fixées à angle droit l’une sur l’autre et libres de se mouvoir ensemble par glissement du côté AI) sur la droite indéfinie AB. Poussée par le point L, qui la chasse devant lui, l’équerre LAD cède en glissant, comme je viens de l’indiquer. Par le simple effet de ce glissement, le point L, considéré comme fixe sur la perpendiculaire LA, décrit la courbe LM ; mais c’est autour de ce point L, déjà Supposé fixe sur la droite LS, que s’accomplit la rotation incessante de cette droite mobile. Il s’ensuit donc que la droite LS et l’équerre LAD forment ensemble un système où tout

1 Veut-on une image sensible de ce double mouvement? Que l'ou considère une corde glissant dins un cercle, sans cesser d'appuver ses deux extrémités sur la circonférence. Le point milieu de la corde décrit une circonférence de cercle, la corde glissant sur elle-même et tournant autour de ce point en même temps quelle l'cntratne.

se meut à la fois, et où nul changement ne peut survenir dans la position relative des diverses parties , si ce n'est celui qui résulterait de la rotation continue de la droite LS autour du point L; mais, dans ce système, l'angle de la droite LS avec le côté LA demeure constamment droit. Rien donc ne change dans la position relative de toutes les parties, et, s’il y a rotation continue de la droite LS autour du point L, il faut qu’en même temps la droite LA tourne autour de ce même point, dans le même sens, de la même manière, de la même quantité. La droite LA n’a qu’un seul mouvement, et ce mouvement est complètement déterminé par luimême, c’est celui qui résulte du glissement de l’équerre LAD sur la droite lise AB. Le glissement de l’équerre ne fait que la déplacer par rapport à AB , et , dans ce déplacement relatif, tout se passe évidemment comme si l’équerre était fixe, et que la droite AB, devenue mobile, glissât sur ellemême dans le sens BÀ. Or, si l’équerre est fixe, et que la droite AB glisse sur elle-même , cette droite ne sort point en réalité de la position qu’elle occupe, et dès lors elle est comme immobile. La fixité de l’équerre LAD, combinée avec l’immobilité qu’on peut attribuer à la droite AB, sans altérer en rien la position relative de la droite et de l’équerre, exclut manifestement toute rotation de la droite LA autour du point L De là résulte l'impossibilité absolue d’aucune rotation de la directrice LS autour de ce même point. Mais en admettant une rotation de la directrice autour du point L, on ne fait que tenir compte du mouvement propre à la droite sur laquelle se meut le point L dans la description de la courbe hypothétique LM. La rotation de la directrice étant nulle, il en résulte nécessairement que la droite LS ne doit point tourner, si l’on veut qu’en la parcourant le point L reste équidistant de la droite AB.

En résumé, l’hypothèse